§2 数集和确界原理教学目的与要求：使学生正确理解实数集合的定义及各种表示方法，掌握实数集合有界，有上下确界的定义，理解确界原理教学重点，难点：集合有界，有上下确界的定义， 确界原理的证明及应用教学内容：本节内容分两部分介绍，我们首先定义实数集R中的两类重要数集—区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理一 区间与邻域1、区间的定义 设a、bR且a＜b.开区间（a, b）、闭区间 [a, b]、半开半闭区间、有限区间的定义几何意义区间 、、、、、无限区间的定义有限区间和无限区间统称为区间满足绝对值不等式的全体实数x的集合称为2、邻域的定义 设 点的邻域 或 的定义 点a的空心邻域或的定义 的差别 点a的右邻域或 点a的左邻域或点a的空心左、右邻域、等的定义 邻域、+邻域、邻域二 有界集·确界原理1、有阶集的定义定义1 设S为R中的一个数集若存在数M（L），使得对一切都有则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界） 若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集若S不是有界集，则称S为无界集。
注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念例1 证明数集有下界而无上界 分析证 例 任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集 2、数集的上确界和下确界的精确定义描述性定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界精确定义 定义2 设S是R中的一个数集若数满足： （i）对一切； （ii）对任何数集S的上确界，记作定义3 设S是R中的一个数集若数满足： （i）对一切 （ii）对任何为数集S的下确界，记作 上确界与下确界统称为确界 注：以上确界为例，下确界类似定义设S是R中的一个数集若数满足： （i）对一切； （ii）对任何则称数也为数集S的上确界例2 设试按上、下界的定义验证：sup S=1,inf S=0.例 闭区间[0，1]的上、下确界分别为1和0对于数集的上、下确界分别为正整数集N+有下确界而没有上确界注1 由上（下）确界的定义可见，若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一的又若数集S存在上、下确界，则有inf S≤sup S.注2 从上面一些例子可见，数集S的确界可能属于S，也可能不属于S。
例3 设数集S有上确界证明分析证 3、确界原理及其应用 定理1.1(确界原理) 设S为非空数集若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界分析证 采用构造性证明方法证明关于上确界的结论注：在本书中确界原理是极限理论的基础例4 设A、B为非空数集，满足：对一切上确界，数集B有下确，且 （2）分析证 例5 设A、B为非空有界数集，S=A∪B证明：(i)(ii)分析证 □确界原理的扩充若把+∞和补充到实数集中，并规定一实数a与+∞、的大小关系为：a＜+∞，a>，＜+∞，则确界概念可扩充为：若S无上界，则定义+∞为S的非正常上确界，记作supS=+∞；若要无下界，则定义为S的非正常下确界，记作infS=，相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的） 例如 正整数N+有inf N+=1，sup N+=+∞数集的infS=，supS=2。
复习思考题、作业题： 2，4，6，7，8。