第1章 信号及信号的时域分析1.1本章要点本章在时域范围内讨论信号的分类和信号的基本运算，通过本章的学习，读者应该了解信号的各种分类、定义及相关波形；了解各类常用信号及其性质，掌握几种奇异信号的特性及运算方法；了解和掌握信号的基本运算方法，深刻理解卷积与输入、输出信号和系统之间的物理关系及其性质，为后续课程打下牢固的基础1、信号的分类（1）连续信号与离散信号一个信号，如果在连续时间范围内(除有限个间断点外)有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号仅在离散时间点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号2）确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号即给定某一时间值，就能得到一个确定的信号值随机信号是时间的随机函数，即给定某一时间值，其函数值并不确定的信号3）周期信号与非周期信号对于连续信号，若存在，使得，为整数，则称为周期信号；对于离散信号，若存在大于零的整数，使得，为整数，则称为周期信号不满足周期信号定义的信号称为非周期信号① 几个周期信号相加而成的信号的周期问题几个周期信号相加，所产生的信号可能是周期信号，也可能是非周期信号，这主要取决于几个周期信号的周期之间是否存在最小公倍数。
以周期分别为、（角频率分别为）的两个信号相加产生的信号为例， 如果有理数，均为整数，则为周期信号，其周期为 （1-1）② 离散正（余）弦信号的周期问题时域连续的正（余）弦信号一定是周期信号，但时域离散的正（余）弦信号不一定是周期信号，要求周期N为正整数例如：为周期信号，周期N为5，为非周期信号，因为不是整数4）能量信号与功率信号归一化能量为有限值，归一化功率为零的信号为能量信号，即满足， 归一化功率为有限值，归一化能量为无限大的信号为功率信号，即满足，一般，周期信号为功率信号5）实信号与复信号在各时刻（或）上的信号幅值为实数的信号为实信号，信号幅值为复数的信号称为复信号2、常用连续信号及其性质（1）.单位阶跃信号用表示，定义为： （1-2）（2）单位冲激信号用表示，其狄拉克(Dirac)定义为： （1-3）冲激信号的性质：1）筛选性 （1-4） （1-5）2）取样性 （1-6） （1-7）3）尺度变换 （1-8） （1-9）以及的n阶导数为 （1-10）4）奇偶性利用式（1-10）来分析的奇偶性是比较方便的。
令，得 （1-11）为偶数时，有 （1-12）为奇数时，有 （1-13）这样，得到 （1-14） （1-15）即是偶函数，而是奇函数5） 与互为微分与积分的关系， （1-16） （1-17）6）复合函数形式的冲激信号 对于形如的冲激信号，若有个互不相等的实根（如果有重根，没有意义），则有 （1-18）（3）单位冲激偶函数1）单位冲激偶函数的定义单位冲激偶函数可通过对矩形脉冲求一阶导数再取极限引出其定义脉宽为、幅度为的矩形脉冲为， 其导数为，波形如图1-1所示。
图1-1 对矩形脉冲求导的波形可见是一正一负两个强度均为的冲激信号称为单位冲激偶函数2）单位冲激偶函数的性质：① 因为是奇函数，所以 （1-19） ② （1-20）③ （1-21）推广，有 （1-22）④ （1-23）推广，有 （1-24） （1-25） （1-26）（4）斜坡信号单位斜坡信号用表示，其定义为： （1-27）与之间的关系为： （1-28） （1-29）（5）符号函数符号函数用表示，其定义为： （1-30）（6）取样信号 取样信号用表示，其定义为： （1-31）取样信号有如下性质：1） （1-32）2） （1-33）3） （1-34）3、常用离散信号及其性质（1）单位序列单位序列用表示，其定义为： （1-35）单位序列性质：1） （1-36）2） （1-37）（2）单位阶跃序列单位阶跃序列用表示，其定义为： （1-38）若将移位，得 （1-39）单位阶跃序列与单位序列之间的关系： （1-40） （1-41）或者 （1-42）4、连续信号的基本运算（1）信号的相加和相乘信号的运算从数学意义上来说，就是将信号经过一定的数学运算转变为另一信号。
两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和 （1-43）两个信号相乘，其积信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积 （1-44）（2）信号的平移将信号沿时间轴作平移，得到一个新的信号对于连续信号，若有常数，信号是将原信号沿正轴平移时间，而是将原信号沿负轴平移时间3）信号的尺度变换与反转将信号的横坐标的尺寸展宽或压缩称为信号的尺度变换可用变量（为非零常数）替代原信号的自变量，得到信号如果为正数，当时，是将以原点为基准，横轴压缩到原来的倍；当时，是将横轴展宽至原来的倍信号的反转是将信号中的自变量换为，即将信号绕纵轴作反转 把原信号在时刻的值变换为时刻的值4）信号的导数和积分信号的导数定义为： （1-45）信号的积分定义为： （1-46）（5）信号的时域分解1）信号的奇偶分解信号的偶分量用表示，其定义为： （1-47）信号的奇分量用表示，其定义为： （1-48）任意一个信号都可以表示成奇分量和偶分量之和： （1-49）则有 （1-50） （1-51）信号及信号的奇分量和偶分量如图1-2所示。
图1-2 信号及信号的奇、偶分量2）信号的脉冲分解任意一个连续信号都可以用脉冲信号相叠加来近似表示，如图1-3(a) 所示 图1-3 信号分解成窄脉冲每个矩形脉冲可以表示为则当时，，，则 （1-52）这就是在时域中任意信号可以分解为无限多个冲激信号相叠加, 如图1-3(b) 所示式（1-52）的积分称为卷积积分6）信号的卷积积分1）卷积积分的定义一般而言，两个信号，的卷积积分定义为 （1-53）简称卷积，记作 2）卷积积分性质① 交换律 设有和两个信号，则 （1-54）② 分配律 设有、和三个信号，则 （1-55）③ 结合律 设有、和三个信号，则 （1-56）④ 卷积积分后的微分性质两个信号卷积积分后的导数等于两个信号中之一的导数与另一信号的卷积积分即 （1-57）⑤ 卷积的微积分性质如果，则 （1-58） 式中当或取正整数时表示导数的阶数，取负整数时为重积分的次数。
⑥ 卷积的平移性质两个信号平移后的卷积积分，等于两个信号卷积积分后平移，其平移量为两个信号分别平移量的和即如果 则有 （1-59）⑦ 与冲激信号或阶跃信号的卷积积分信号与单位冲激信号卷积积分的结果是信号本身 即 。