经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值： (1) (2) (3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值： 解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：.类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三： 【变式1】求值 (1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵ a2+b2=7ab， ∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， ∴ lg(a+b)2=lg(9ab)， ∵ a>0，b>0， ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即 .类型四、换底公式的运用 4．(1)已知logxy=a， 用a表示； (2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx. 解：(1)原式=； (2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底. 方法一：am=x， bn=x， cp=x ∴， ∴ ； 方法二：. 举一反三： 【变式1】求值：(1)；(2)；(3). 解： (1) (2)； (3)法一： 法二：. 总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用 5．求值 (1) log89·log2732 (2) (3) (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 解：(1)原式=. (2)原式= (3)原式= (4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三： 【变式1】求值： 解： 另解：设 =m (m>0).∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即. 【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=? 解：∵ ∴， 类型六、函数的定义域、值域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 6. 求下列函数的定义域： (1)； (2). 思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域. 解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数； (2)因为4-x>0，即x<4，所以函数. 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域. (1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR). 解：(1)因为， 所以， 所以函数的定义域为(1，)(，2). (2)因为 ax-k·2x>0， 所以()x>k. [1]当k≤0时，定义域为R； [2]当k>0时， (i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)； (ii)若00且a≠1) 思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方， 所以，log23.4log0.32.7； (3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则 当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9 所以，b1b2，即. 举一反三： 【变式1】（2011 天津理 7）已知则（ ） A． B． C． D． 解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像， 由图像可得 又∵为单调递增函数， ∴ 故选C. 9. 证明函数上是增函数. 思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法. 证明：设，且x10且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性. 解：设t=logax(x∈R+， t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t11， ∴ f(t1)1或00，即-10的解集为R，这是不等式中的常规问题. f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是。
