函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．二、例题精讲：题型1： 函数奇偶性的判定1. 判断下列函数的奇偶性：① , ②,③ ④ 随堂练习１：设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：① y=－|f（x）|； ②y=xf（x2）； ③y=－f（－x）； ④y=f（x）－f（－x）。
必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）题型2： 函数奇偶性的证明2．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；随堂练习２：已知f（x）=是奇函数，则实数a的值等于 题型3： 函数奇偶性的应用3．设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)
1）写出函数的表达式；（2）指出函数的单调区间及单调性；（3）求函数的最值15．求证：函数是奇函数能 力 训 练 题１．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=； （2）； （3）f(x)=x+1 (x[-10,10))； ２．函数f(x)(xÎR)是奇函数，且 _．３．已知函数为偶函数，则的值是 ．４．如果奇函数在区间上最大值为，那么在区间上最小值是 ５．为奇函数，则 ．。