高等数学（上）一、 填空题（每空3分，共42分）1、函数的定义域是 ；2、设函数在点连续，则 ；3、曲线在（-1，-4）处的切线方程是 ；4、已知，则 ；5、= ；6、函数的极大点是 ；7、设，则 ；8、曲线的拐点是 ；9、= ；10、设，且，则= ；11、，则 ， ；12、= ；13、设可微，则= 二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、2、，求；3、设函数由方程所确定，求；4、已知，求三、 求解下列各题（每题5分，共20分） 1、2、3、4、四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当时， （本题8分）2、求由所围成的图形的面积，并求该图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数的定义域是 ；2、设函数在点连续，则 ；3、曲线在处的切线方程是 ；4、已知，则 ；5、= ；6、函数的极大点是 ；7、设，则 ；8、曲线的拐点是 ；9、= ；10、设，且，则= ；11、，则 ， ；12、= ；13、设可微，则= 。
二、计算下列各题（每题5分，共20分）1、2、，求；3、设函数由方程所确定，求；4、已知，求三、求解下列各题（每题5分，共20分） 1、2、3、4、四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当时， （本题8分）2、求由所围成的图形的面积，并求该图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积本题10分）习题4-2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: : (1) dx= d(ax); 解dx= d(ax). (2) dx= d(7x-3); 解dx= d(7x-3). (3) xdx= d(x2); 解xdx= d(x2). (4) xdx= d(5x2); 解xdx= d(5x2). (5); 解 . (6)x3dx= d(3x4-2); 解x3dx= d(3x4-2). (7)e 2x dx= d(e2x); 解e 2x dx= d(e2x). (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14). 解 . 2. 求下列不定积分(其中a, b, w, j均为常数): (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . (27); 解 . (28); 解 . (29); 解 . (30); 解 . (31); 解 . (32); 解 . (33); 解 . (34)(>0); 解 , . (35); 解 . 或 . (36); 解 . (37); 解 . (38); 解 . (39); 解 . (40). 解 . 习题5-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间[a, b]内插入n-1个分点(i=1, 2, × × ×, n-1), 把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, × × ×, n). 第二步: 在第i个小区间[xi-1, xi] (i=1, 2, × × ×, n)上取右端点, 作和 . 第三步: 令l=max{Dx1, Dx2, × × × , Dxn}, 取极限得所求面积 . 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)(a0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间上单调增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4)先求函数在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m. , 驻点为. 比较f(0)=1, f(2)=e 2, ,得, M=e 2. 于是 , 即 . 7. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上, f(x)³0, 且, 则在[a, b]上f(x)º0; (2)若在[a, b]上, f(x)³0, 且f(x)≢0, 则; (3)若在[a, b]上, f(x)£g(x), 且, 则在[a, b]上f(x)ºg(x). 证明 (1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当xÎ[c, d]时, . 于是 . 这与条件相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0. (2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当xÎ[c, d]时, . 于是 . 证法二 因为f(x)³0, 所以. 假如不成立. 则。