关于形如N2+1的素数问题摘要：本文建立了一种筛法,用这种筛法证明了形如的素数是无穷多的. 关键词：素数 剩余类 筛法予备知识要讨论形如的素数问题,除1以外,只须对是偶数的情况加以研究.引理一:形如的素数可以表为一偶一奇两数的平方和, 并且表法是唯一的. <1>其中s表示偶数,t表示奇数,[1]引理二:若为合数,则它能表为一偶一奇两数的平方和. <2>其中u表示偶数,v表示奇数,并且v>1.因为这里只讨论是偶数的情况,由引理一极易推得.引理三:若<2>成立,则(没有的素因子)由纯的素因子组成.[2]引理四:若<2>成立,则,即 <3>证明:见[3].引理五:若含有素因子,则除以所得的商也能表为一偶一奇两数的平方和.即 <4>其中x表示偶数,y表示奇数.证明:见[1],[4].一个基本定理由 <4>将上面等式的第三部分展开得: <5>比较<4>,<5>得: <6>即满足<6>的的的数必含素因子P.为了确定,我们将<6>化简, 继续比较<4>,<5>得到以下四个一次方程组,并加以讨论.从这个方程组解得: , 此与s,x为偶数相矛盾, 即这种情况是不存在的.从这个方程组解得: .从这个方程组解得: ,.从这个方程组解得: , 此与s,x为偶数相矛盾, 即这种情况也是不存在的.所以得到:即 <7>将<7>代入<6>得: <8> <8>式说明:对于任意给定的形如的素数,总有满足<8> 的两类,这样的使为含有素因子的合数. 于是我们得到基本定理.定理一:对于任意给定的形如的素数P,总存在这样的,即以为模的两个剩余类的,对于如此的,它的平方加1为含有素因子的合数. 即 . 有下式成立 . <9>计算方法 以下我们给出满足<9>的两类的计算方法. <8>取以为模, 由于h的任意性, 不妨设4h含有因子s, 则<8>变为: <10>由于λ的任意性, t可以整除λp,但是 ,除t=1以外, t不能整除s.所以,除t=1以外,不能用<10>求出满足<9>的两类. 为此需要加以变换.由于λ的任意性,不妨设,并且设一并代入<10>得 <11>由μ任意性,取适当的μ使.则 <11>.这样以来.公式<11>就给出了求满足<9>的两类的具体计算方法.我们还可以给出求满足<9>的另外一种具体计算方法.将<8>加以变形 <12>取以p为模,由于h任意性,不妨设含有因子t,则<12>变为 <13>由λ＇的任意性,不妨设＇设 ,将这两个式子同时代入<13>得: <14>由于μ＇的任意性,取适当的μ＇使 得 <14>公式<14>就又给出了满足<9>的两类的又一种方法.例1:对=5.求出两类,使含有因子5.解: ∵.可以用公式<10>直接计算. .因为为素数, 它也是的素数,所以对于形如的素数.求出两类, 使含有素因子,可利用公式<10> 直接计算.例2:对 =193.求出两类,使含有因子193.解: 方法一:利用公式<11>将代入<11>得:方法二:利用公式<14>,将 代入<14>得由公式<11>和公式<14>求出的两类N表面上是不一致的,实际上是一致的. 为了形式的一致,我们对用方法一求出两类稍加变形得:一般说来,对于以为模的两个剩余类pm±R.如果约定 ，不管用公式<11>,还是用公式<14>求出的两类是唯一确定的.至于具体计算时究竟用那个公式, 要看用那个公式使计算简单一点而定. H筛法由基本定理及求满足<9>的两类的具体计算方法加以深究. 实际上是创立了一种特殊的新的筛法,这里我们记为H筛法.即用这种筛法,用形如的素数去筛N,筛出的使都是合数,而留下的都是的素数.H筛法是用下述办法进行的:是所有偶数.首先用5去筛,筛出两类,这两类,使都是含有因子5的合数.然后用13去筛,筛出两类,这两类,使都是含有因子13的合数.其次用17去筛,筛出两类,这两类,使都是含有因子17的合数. ..................依次用素数去筛,筛出两类,这两类,使都是含有因子的合数.形如N2+1的素数是无限多的我们注意到:用5去筛,有的N,使为合数.用13去筛 , 有的N,使是合数.用17去筛,有的N,使是合数，……,用素数去筛,有的N,使是合数.我们又注意到:在的数中,含因子5的占,含因子13的占,.....,含因子pJ的占J.既含因子5,又含因子13的 ,......,既含因子5,又含因子13,...,又含因子pJ的占如果用5去筛,那末去掉含因子5的,把所有作为1. 那末剩余部分是如果单独用13去筛,那末剩余部分是.如果既用5去筛, 又用13去筛.那末剩余部分是 如果单独用17去筛,那末剩余部分是.因既含因子5, 又含因子13,同时又含因子17的,占 所以同时用5, 13,17去筛,那末剩余部分是 .............仿上进行下去,同时用5,13,17,..., 去筛, 那末剩余部分是 <15>从另一方面分析:如果用5去筛, 剩余部分是.剩余部分再用13去筛又可筛去所以把用5筛后的剩余部分作为1,剩余部分再用13去筛,那末剩余部分仍为 .对于整个来说,用5,13同时筛之后,剩余部分应为,之后再用17去筛,剩余部分作为1,仍然可以再筛去.那末用5,13,17筛过以后,整个剩余部分为 .把这种分析方法重复下去,用5,13,17,..., 同时去筛,那末中剩余部分为 <16>容易看出<15>,<16>是一回事. 对<16>的值作以估计： <17>由于.其次说明：从开始到共有：个偶数,而 个偶数的每个数平方后再加上1,称为数组M.定理二:形如的素数是无限多的.证明:假如形如的素数是有限的,不妨设最大的为,则小于的所有形如的素数,由小到大排列为.用可以把以内的含素因子的合数挑选出来.由引理三数组M只含的素因子.我们用.去筛数组M.因为形如的素数是有限个的.所以对数组M的所有数.用去筛.应该筛净,而没有剩余.即剩余部分应该等于零.（一）另一方面,由上面的分析用.去筛.对于大于N的数,用.中的每一个只能筛去其中的，那末用.筛后剩余部分为：数组M用筛后,剩余的偶数个数为:这说明用去筛数组M的所有的数是筛不净的.（二）（一）与（二）矛盾.产生矛盾的原因，是由假设形如的素数是有限个所造成的.这就证明了形如的素数是无限多的. 我们不仅证明了形如的素数是无限的.而且对于已知的的素数，对于下一个形如的素数的范围作出了估计., 与之间至少还有两个形如的素数.参考文献:[1],柯召,孙琦 《数论讲义》高等教育出版社１９８６年３月第１版 第１２３－１２４页[2] 闵嗣鹤 严世健 《初等数论》人民教育出版社１９８２年１１月 第二版 第９９页[3]胡育昆 王凌云 胡鲜芳 “关于形如表素数的讨论”洛阳师专学报(自然科学版)１９９１.２.[4]华罗庚 《数论导引》 科学出版社 １９５７年７月 第一版 第１２９－１３４页。
About the Prime Numbers of N2+ 1 Ma Guo-xiang (Luoyang fourth Railway school,471002)Abstract:By using the primary way in this thesis,we have found a sifting methed which can be used to prove the fact has infinite prime numbers. Key wards: prime number lifted sifting methed洛阳师范学院学报(自然科学版) 2001年第二期- 40 -。