八年级数学上册第一章勾股定理知识点归纳北师大版第1章勾股定理一．知识概括１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为222a，b，斜边为c，那么abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证了然直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法好多，常有的是拼图的方法用拼图的方法考证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，41ab(ba)2c2，化简可证．2DCHEGFbaAcB方法二：baaccbcbcaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41abc22abc22大正方形面积为S(ab)2a22abb2222所以abc方法三：S梯形1(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21ab1c2，化简得证2221AaDbcc EaBbC３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，关于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点，因而在应用勾股定理时，必须了然所考察的对象是直角三角形４ .勾股定理的应用①已知直角三角形的随意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一边，可得此外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c知足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转变为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；abc②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c知足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，可是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够组成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常有的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法增添协助线（往常作垂线），结构直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８ .．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在详细2推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９ .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不可分的一个整体．往常既要通过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，达成对问题的解决．常有图形：CCC30°AABADBBDCBDA3内容总结。
