极限一、本章学习要求与内容提要(一) 学习要求1•了解极限的描述性定义.2•了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质.3 •会用两个重要极限公式求极限.4•掌握极限的四则运算法则.5•理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类.6•了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质(最大值和最小值定理、根的 存在定理).7•会用函数的连续性求极限.重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念.难点 分段函数在分段点的连续性.(二) 内容提要1 .极限的定义(1) 函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类型描述性定义极限记号XT « 时函数 f (x)的 极限设函数y= f(x)在|x|nb (b为某个正实数)时 有定义，如果当自变量 X的绝对值无限增大时，相应的 函数值无限接近于某一个固定的常数 A，则称 A为XT閃(读作“ X趋于无穷”)时函数f (X)的极限lim f(x) = A 或X—f(X)T A(XT 旳)XT +=C时函数 f(x)的极限设函数y = f(x)在(a,讼)(a为某个实数)内有定 义，如果当自变量X无限增大时，相应的函数值f (X)无 限接近于某一个固定的常数 A，则称A为xt 邑(读 作“ X趋于正无穷”)时函数f (X)的极限lim f (x) = A 或f(X)T A(XT +=C)XT时函数f(x)的极限设函数y= f (x)在(-°o,a) ( a为某个实数)内有定 义，如果当自变量 x无限增大且xcO时，相应的函数 值f (x)无限接近于某一个固定的常数 A，则称A为xt —旳(读作“ x趋于负无穷”)时函数f(x)的极限lim f(x)=A 或f(x)T A(XT q)XT X。
时函数 f(X)的 极限设函数y= f (x)在点X0的去心邻域N(?o,6)内有 定义，如果当自变量X在N(XOP)内无限接近于X时， 相应的函数值f (X)无限接近于某一个固定的常数 A , 则称A为当XT X0(读作 X趋近于X时函数f(X) 的极限lim f(x)=A或IXf(X)T A(XT Xo)XT xj时函数 f (X)的 极限设函数y=f(x)在点Xo的左半邻域(x) 内有定义，如果当自变量X在此半邻域内从X左侧无限 接近于X时，相应的函数值 f (X)无限接近于某个固定 的常数A ,则称A为当X趋近于xo时函数f (x)的左极 限lim f(x) = A 或f(X)T A(XT xj或 f (x 0) = AXT X：时函数 f (X)的 极限设函数y= f(x)的右半邻域(Xo,^ +5)内有定 义，如果当自变量X在此半邻域内从xo右侧无限接近于 X)时，相应的函数值 f (x)无限接近于某个固定的常数 A，则称A为当x趋近于xo时函数f (x)的右极限lim f (x) = A 或jxhf(x)T A(xt x^)或 f (Xo + o)= A(2)单侧极限与极限的关系定理lim f (x)二 lim f (x) = A .x x )：:f (x)二A的充分必要条件是①lim f (x)=.A的充分必要条件是 X_ J .lim f (x) = lim f (x) = A .X Xp… x xo(3) 极限存在准则① 单调有界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限.② 夹逼准则若当 x ：= N (?), )时，有 g(x) - f (x) _ h(x),且 lim g(x) = A , lim h(x)= A ,则哩 f (x) =A .夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立2. 极限的四则运算法则设lim f (x)及lim g(x)都存在，则x—xo x_：Jxo(1) lim f (x)二 g(x) J - lim f (x)二 lim g(x)；^^xo ^^xo x― 0(2) lim f (x)g(x)lim f (x) lim g(x),l i mCf (x) I - C l i mf (x) (C 为任意常数);x—o \ X「Xolimx Wf (x) g(x)=limx >xof(x) g(x)(lim g(x) = o).上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立.3. 两个重要极限(1)x般形式为lim Sin u(x) =1 (其中u(x)代表x的任意函数)u(x)T u(x)/ vU(x)般形式为lim 11+ =e (其中u(x)代表x的任意函数)u(x)严 u(x)丿4. 无穷小量与无穷大量在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时 ，均以x > xo的极限变化过程为例 其他极限变化过程，有完全类似的结论.(1)无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量， 简称无穷小•例如，如果lim f(x) = 0,则称当x— x0时，f (x)是无穷小量.注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数.(2 ) 无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大 量，简称无穷大.应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形， 我们借用极限的记号iimf(x)「:,X j0 ' ’表示“当x > xo时，f (x)是无穷大量”.(3) 无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷 大量.(4) 无穷小量的运算① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量.② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量.③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量.④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.(5) 无穷小量的比较F表给出了两个无穷小量之间的比较定义. 无穷小量的比较表设在自变量XT X的变化过程中，G(X)与 (X)均是无穷小量无穷小的比较定义记号P (x)是比a (x)高阶的无穷小lim 3"T0 G(X)P(x) = ok(x)](XT X0 )a(x)与P(x)是同阶的无穷小lim巴凶=c (C为不等于零的常数)12(X)a(x)与B(x)是等阶无穷小..P (X)lim —— = 1 xf a( x)a (x) ~ P (x)(XT X)5. 函数的连续性⑴函数在一点连续的概念①函数在一点连续的两个等价的定义：定义1 设函数f(x)在点Xo的某个邻域内有定义，若当自变量的增量 厶X=X-X0趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即IXm0 = 1缎/&0 x) - f(X0)则称函数f (x)在点X。
处连续，或称X是f (x)的一个连续点.定义2若巴f(X)=f(X)，则称函数f(X)在点xo处连续.② 左右连续的概念 若lim f(x)=f(x°)，则称函数f(x)在点X处左连续；若0 —lim f(x^ f(xo)，则称函数f(X)在点x0处右连续.⑵函数在一点连续的充分必要条件函数f (x)在点Xo处连续的充分必要条件是 f (X)在点Xo处既左连续又右连续.由此可知，函数f (X)在点Xo处连续，必须同时满足以下三个条件：① 函数f(x)在点Xo的某邻域内有定义，② lim f (x)存在，X x,o③ 这个极限等于函数值 f(Xo).⑶函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续，该区间也称为函数的连续区间. 如果连续区间包括端点， 那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.⑷间断点若函数f (x)在点Xo处不连续，则称点 Xo为函数f (X)的间断点.⑸间断点的分类设Xo为f (X)的一个间断点，如果当X—； Xo时，f(X)的左极限、右极限都存在，则称Xo 为f (X)的第一类间断点；否则，称 Xo为f (X)的第二类间断点.对于第一类间断点有以下两种情形：① 当lim f (x)与lim f (x)都存在，但不相等时，称 Xo为f (x)的跳跃间断点；X XQ • X Xo② 当lim f (x)存在，但极限不等于 f(Xo)时，称xo为f (x)的可去间断点.X xo⑹初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.⑺闭区间上连续函数的性质① 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值.② 根的存在定理 设f(x)为闭区间a,b 上的连续函数，且f (a)与f (b)异号，则至少存 在一点匚三(a,b)，使得f( ) o .二、主要解题方法1. 求函数极限方法(1)利用极限存在的充分必要条件求极限例1求下列函数的极限：(1) lim#xTx —41 xsin a(2) f x 二 x21 XX ：：: 0当a为何值时，f(x)在x = 0的极限存在.X-2解(1) lim 2T-X2 _4=limx —(x -2)(x 2)1~4x -2limx -2亠1叽——=lim ± -,x)2 x2 _4 x)2(x-2)(x 2) 4因为左极限不等于右极限，所以极限不存在.(2) 由于函数在分段点 x = 0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点 x = 0处的左极限与右极限.于是，有1 1lim f (x)二 lim (xsin a) = lim (xsin ) lim a = a ,x )0 … x )0 … x x )0 … x x ]0 -!iomf(x)巳肿 x2)"，为使lim fa=1 时，lim f(x)存在且 lim f(x) =1.对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限, 左右极限存在且相等时极限才存在，否则，(3)利用极限运算法则求极限例2求下列函数的极限：因此，当小结极限不存在.要用左右极限来求，只有2x2 —3⑴咆，X 1 x 1x2 -92x -5x 6冋渲匸)，解⑴ lim 2x 一3lim(2x2 -3)X 1lim(x 1)X「1(2)当x > 3时，分子、分母极限均为零，呈现0型，不能直接用商的极限法则，可先0(x)存在，必须有 lim f (x) = lim f (x)， 十 x_羽—分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则.x2 9x -5x 6(x-3)(x 3)(x-3)(x-2)= lim 口x 3 X - 22 1 2 1(3) 当X > 1时，的极限均不存在，式 三 —呈现：：-：：型，不能1一x1—x 1 _ X 1 _ X直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则•即原式=1 -x21 -x2-(1 x)1 -x2(1") mJ11 x二 limx 1 (1 - x)(1 x)(4) 当*一：心时，分子分母均无极限，呈现 二形式•需分子分母同时除以 ,X ,将无。