第二讲 函数与方程A:题型一 判断给定函数有无零点以及零点个数的确定1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］；（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1，2］；（3）f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1，3］.解（1）方法一 因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x2-3x-18，x∈［1，8］存在零点.方法二 令x2-3x-18=0,解得x=-3或6, 所以函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］存在零点.（2）∵f（-1）=-1＜0,f(2)=5＞0,∴f（x）=x3-x-1，x∈［-1，2］存在零点.（3）∵f（1）=log2（1+2）-1＞log22-1=0.f(3)=log2(3+2)-3＜log28-3=0.∴f（1）·f（3）＜0故f(x)=log2(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点.2.求下列函数的零点：(1)y=x3-7x+6;(2)y=x+-3.解（1）∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0可得x1=-3,x2=1,x3=2.∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.(2)∵x+解x+即=0,可得x=1或x=2.∴函数y=x+-3的零点为1，2.（3）；（4）（5）（6）（7）（8）（9）2.（1）求函数的零点的个数； 答案1（2）求函数的零点的个数；（3）求函数的零点的个数；（4）求方程在区间[-1，3]内至少有几个实数解；（5）求函数在[0，2]上的零点的个数；（6）方程在[1，5]内的实数解至少有多少个？题型二 一元二次方程根的分布，或二次函数零点问题1.（1）若函数没有零点，求实数a的取值范围；（2）若方程只有一个解，求a的取值范围；（3）函数的一个零点在原点，求m的值；（4）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；解（1）若a=0，则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意； 若a≠0，则f(x)=ax2-x-1是二次函数，故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0，解得a=-， 综上所述a=0或a=-. 2.一元二次方程根的分布问题（1）关于的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围；（2）关于的方程有两个实根，在[1，3]之外，求的取值范围；（3）关于的方程有两个实根，在[0，4）内，求的取值范围；（4）关于的方程有两个实根，在[0，4）内，求的取值范围；（5）若方程在（0，1）内恰有一个解，求a的取值范围；（6）判定方程有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。
7）若方程的两个根都大于2，求m的取值范围；（8）关于x的方程有且仅有一根在[-1，1]内，求m的取值范围；（9）关于x的方程两个不同的实根均在[-1，1]内，求m的取值范围；（10）关于x的方程两个负根，求k的取值范围；（11）若函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值围；3. （1）若函数的两个零点是2和-4，求的a，b的值；（2）若函数有一个零点是2，求函数的零点；（3）若函数的两个零点是2和3，求函数的零点；答案 -，-（4）关于x的实系数方程x2-ax+2b=0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a+3b的最大值为 .答案 9（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.解: （2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，即|4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根. 8分 令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根， 那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点. 12分故需满足0＜-a＜4,即-4＜a＜0.∴a的取值范围是（-4,0）. 题型三 用二分法求函数的零点1.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 （填序号）. 答案①③2.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1，1.5］内的一个零点（精确度0.1）. 解 由于f(1)=1-1-1=-1＜0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875＞0,∴f(x)在区间［1，1.5］上存在零点，取区间［1，1.5］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端（中）点坐标中点函数值符号零点所在区间|an-bn|0.51.25f(1.25)＜00.251.375f(1.375)＞0 [1.312 5，1.37]0.1251.312 5f(1.312 5)＜00．062 5∵|1.375-1.312 5|=0.062 5＜0.1，∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间［1.312 5，1.375］内，故函数零点的近似值为1.312 5.3.求方程的无理根（精确到0.01）4.用二分法求在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到0.01）；题型四 确定函数零点的大致区间1.方程的一个实数解的存在区间为（）A（0，1） B（0，2） C（1，2） D（-1，1）2.函数的零点所在的大致区间是（）A（1，2） B（2，3） C（1，）和（3，4） D（e，+∞）3.方程在区间[-2，4]上的根必定属于区间A[-2，1] B[，4] C[1，] D[，]4.已知函数的图像是连续不断的，有如下的的对应值表：123456136.13615.552-3.9210.88-52.488-262.064则函数存在零点的区间有A区间[1，2]和[2，3]B区间[2，3]和[3，4]C区间[2，3]、[3，4]和[4，5]D区间[3，4]、[4，5]和[5，6]4.函数的零点一定位于如下哪个区间（）A（1，2） B（2，3） C（3，4） D（5，6）5.三次方程在下列哪些区间内有根（）①（-2，-1）②（-1，0）③（0，1）④（1，2）⑤（2，3）6.下列函数中在区间［1，2］上存在零点的函数的序号是 . ①f（x）=3x2-4x+5 ②f（x）=x3-5x-5 ③f（x）=mx-3x+6 ④f（x）=ex+3x-6答案④7.若函数在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程在(0,4)内仅有一个实数根，则的值A大于0 B小于0 C无法判断 D等于08.对于函数，若，则函数在区间（a,b）内A一定有零点 B一不没有零点 C可能有两个零点 D至多有一个零点B：题型一 判断给定函数有无零点以及零点个数的确定1.已知f(x)=1-(x-a)(x-b) (a＜b),m,n是f(x)的零点，且m＜n,则实数a,b,m,n的大小关系是 . 答案m＜a＜b＜n题型二 一元二次方程根的分布，或二次函数零点问题1.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解 方法一 设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,x2 (x1＜x2),则(x1-1)(x2-1)＜0,∴x1·x2-(x1+x2)+1＜0,由韦达定理得(a-2)+(a2-1)+1＜0,即a2+a-2＜0,∴-2＜a＜1.方法二 函数的大致图象如图所示,则有f(1)＜0,即1+(a2-1)+a-2＜0,a2+a-2＜0,∴-2＜a＜1.2.已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)＞0，求实数p的取值范围.解 二次函数f(x)在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)＞0的否定是对于区间［-1，1］内的任意一个x都有f(x)≤0,∴即整理得：解得：p或p.∴二次函数在区间［-1，1］内至少存在一个实数c，使f(c)＞0的实数p的取值范围是(-3,3.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，求a的取值范围.解 设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线（如图所示）.∵f（x）=0的两根分别在区间（-2，0），（1，3）内，∴即解得-12＜a＜0.所求a的取值范围是（-12，0）.4.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间［0，2］上有解，求实数m的取值范围.解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，∵f（0）=1＞0,则应有f(2)≤0,又∵f（2）=22+（m-1）×2+1,∴m≤-.②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则 由①②可知m≤-1.5.已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内一定有实根.证明 若a=0时，则b≠0，此时方程的根为x=，满足题意.当a≠0时，令f（x）=3ax2+2bx-（a+b）.（1）若a(a+b)＜0,则f（0）·f（）=-（a+b）·(-a)=a（a+b）＜0，所以f（x）在区间(0,内有一实根.（2）若a（a+b）≥0，则f(f（1）=(-)（2a+b）=-a2-a（a+b）＜0，所以f（x）在区间(，1）内有一实根.综上所述，方程3ax2+2bx-(a+b)=0在（0，1）内一定有实根.题型三 用二分法求函数的零点1.已知函数（a>1）（1）求证在（-1，+∞）上为增函数；（2）若a=3，求方程的正根（精确到0.01）题型四 确定函数零点的大致区间1..设函数y=x3与y=(x-2的图象交点为（x0,y0），则x0所在的区间是 (写出一个精确到整数的端点的区间即可) 。