图像的二维离散傅立叶变换一、 实验目的掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质二、 实验要求1） 建立输入图像，在64 64的黑色图像矩阵的中心建立 16 16的白色矩形图像点阵，形成图像文件对输入图像进行二维傅立叶变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上2） 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，将原始图像及变换图像 （三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果3） 调整输入图像中白色矩形的尺寸（ 40 40, 4 4），再进行变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果三、 实验仪器设备及软件HP D538、MATLAB四、 实验原理设f （x, y）是在空间域上等间隔采样得到的 M X N的二维离散信号，x和y是离散实变量，u和v为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为‘ M 4N」1 XU yuF(u,v) f (x, y)exp [ j 2： ( ) ] ,u = 0,1,…，M-1 ; y=0 , 1，…N-1MN x=0 y =0 M NM ^N 4f (x, y)二' F(u,v)exp [2二(岂 翌)],x = 0,1,…，M-1 ； y=0 , 1，…N-1 x=0y=0 M N在图像处理中，有事为了讨论上的方便，取 M=N，这样二维离散傅里叶变换对就u,v =0,1 …，N-1定义为 F(u,v)=f(x,y)exp[-U],N x=0 y=0 N1 N 4 N 4f(x, y)^1 二二 F(u,v)ex)[N u=0 v=0j2「：(ux vy)],x,y =0,1，…，N-1其中，exp[-j2二（xu yv） / N ]是正变换核，exp[ j2： （ux vy） / N]是反变换核。
将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为 f （x, y）的功率谱，记为P(u,v) =|F(u,v)|2 二 R2(u,v) l2(u,v)功率谱反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况五、实验步骤及程序(1) 实验步骤1、 建立一个64X 64的原始图像，在矩阵的中心建立 16 16的白色矩形图像点阵，形 成图像文件2、 对输入图像进行二维傅立叶变换3、 进行频谱中心化，得到中心化傅立叶频谱图4、 将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上，比较变换结果5、 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，输出图像6、 调整输入图像中白色矩形的尺寸( 40 40, 4 4)，再进行变换，输出图像(2) 图像的二维离散傅立叶变换实验流程图图1.1图像的二维离散傅立叶变换实验流程图(3) 实验源程序1、将原始图像及变换图像都显示于屏幕上的程序clear%原始图象f=zeros(64,64); %俞入64*64的黑色图像矩阵f(25:40,25:40)=1; %建立16*16的白色矩行图像点阵figure(1);subplot(231),imshow(f);title('原始图像')%显示原图像F=fft2(f); %傅立叶变换subplot(232) imshow(abs(F));title( F2=fftshift(abs(F)); subplot(233); imshow(abs(F2));title( x=1:64;y=1:64;subplot(234); mesh(abs(real(F)));title( subplot(235)'傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像%频谱中心化'中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图'三维频谱图');%显示三维频谱图mesh(x,y,F2(x,y));title( 'FFT')2、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的程序clear%原始图象f=zeros(64,64); %输入64*64的黑色图像矩阵f(47:63,47:63)=1; %建立16*16的白色矩行图像点阵figure(1);subplot(231),imshow(f);title('原始图像')%显示原图像F=fft2(f); %傅立叶变换subplot(232) imshow(abs(F));title( F2=fftshift(abs(F)); subplot(233); imshow(abs(F2));title( x=1:64;y=1:64; subplot(234); mesh(abs(real(F)));title( subplot(235)'傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像%频谱中心化'中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图'三维频谱图');%显示三维频谱图mesh(x,y,F2(x,y));title( 'FFT')3、整输入图像中白色矩形的尺寸( 40 40，4 4)，再进行变换的程序40 X 40clear%原始图象f=zeros(64,64); %输入64*64的黑色图像矩阵f(13:52,13:52)=1; %建立16*16的白色矩行图像点阵figure(1);subplot(231),imshow(f);title('原始图像')%显示原图像F=fft2(f); %傅立叶变换subplot(232) imshow(abs(F));title( F2=fftshift(abs(F)); subplot(233); imshow(abs(F2));title( x=1:64;y=1:64;subplot(234); mesh(abs(real(F)));title( subplot(235) mesh(x,y,F2(x,y));title( 'FFT')4X 4'傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像%频谱中心化'中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图'三维频谱图');%显示三维频谱图clear%原始图象f=zeros(64,64); %输入64*64的黑色图像矩阵f(13:52,13:52)=1; %建立16*16的白色矩行图像点阵figure(1);subplot(231),imshow(f);title('原始图像')%显示原图像F=fft2(f); %傅立叶变换subplot(232)imshow(abs(F));title(F2=fftshift(abs(F)); subplot(233); imshow(abs(F2));title( x=1:64;y=1:64; subplot(234); mesh(abs(real(F)));title( subplot(235) mesh(x,y,F2(x,y));title( 'FFT')'傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像%频谱中心化'中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图'三维频谱图');%显示三维频谱图六、实验结果与分析原始團像 傅里叶变换图像 中心化傅里叶频谱图三维频谙團 FFT0 0 0 0图1.2将原始图像及变换图像都显示的实验图像原始團像傅里叶变换图像中心化傅里叶频谱團0 0100FFT0 0100三维频谙图400.:：:二■ ■ : ■ _ "2血图1.3调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的实验图像原始團像 傅里叶变换團像 中心化傅里叶频谱團三维频谱團 FFT0 0 0 0图1.4调整输入图像中白色矩形的尺寸（40 40）,再进行变换的实验图像原始團像 傅里叶变换图像■ #中心化傅里叶频谱團三维频谱图 FFT0 0 0 0图1.5整输入图像中白色矩形的尺寸（ 4 4），再进行变换的实验图像1傅里叶频谱的低频主要决定图像的平坦区域中灰度的总体分布，而高频主要决定于图像的边缘和噪声等细节。
按照图像空间域和频率域的对应关系， 空域中的强相关性，即由于图像中存在大量的平坦区域， 使得图像中的相邻或相近像素一般趋向于取相同的灰度值， 反映在频率域中，就是图像的能量主要集中于低频部分 因此在三维频谱图中可以清楚地看出原图像的频谱中的较大值集中于四个角的低频部分 原图像的频谱图不能明显地反映图像的完整频谱经过中心化后可以看出频谱中的较大值集中在中心 可以很好地反映出图像的完整频谱2、 基于傅里叶变换的周期性及平移特性，图 1.2是经过平移后的图像，通过图 1.2和图1.3对比可以证明傅里叶变换的周期性及平移特性3、 通过图1.4和图1.5的对比可以看出图1.4的较大值更加集中图 1.5在最大值旁还有较 大值伴随七、实验心得通过本次实验是我对于图像的二维傅里叶变换有了更好地理解， 对于傅里叶变换的周期性和平移特性更加直观的学习到了 傅里叶变换后图像的优点和不足也有了深刻地了解， 通过图像的中心化可以更好地反映出图像的完整频谱。