二次函数压轴题解题思路一.基础知识1会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识:如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直一些方法:如相似、三角函数、解方程一些转换:如轴对称、平移、旋转二.典型例题〔一面积类1.如图,已知抛物线经过点A〔﹣1,0、B〔3,0、C〔0,3三点.〔1求抛物线的解析式.〔2点M是线段BC上的点〔不与B,C重合,过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.〔3在〔2的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.考点:二次函数综合题.专题:压轴题;数形结合.分析:〔1已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.〔2先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长.〔3设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN〔OD+DB=MN•OB,MN的表达式在〔2中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值.解答:解:〔1设抛物线的解析式为:y=a〔x+1〔x﹣3,则:a〔0+1〔0﹣3=3,a=﹣1;∴抛物线的解析式:y=﹣〔x+1〔x﹣3=﹣x2+2x+3.〔2设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:,解得;故直线BC的解析式:y=﹣x+3.已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M〔m,﹣m+3、N〔m,﹣m2+2m+3;∴故MN=﹣m2+2m+3﹣〔﹣m+3=﹣m2+3m〔0<m<3.〔3如图;∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN〔OD+DB=MN•OB,∴S△BNC=〔﹣m2+3m•3=﹣〔m﹣2+〔0<m<3;∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为〔4,0.〔1求抛物线的解析式;〔2试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;〔3若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.考点:二次函数综合题..专题:压轴题;转化思想.分析:〔1该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.〔2首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.〔3△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.解答:解:〔1将B〔4,0代入抛物线的解析式中,得:0=16a﹣×4﹣2,即:a=;∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2.〔2由〔1的函数解析式可求得:A〔﹣1,0、C〔0,﹣2;∴OA=1,OC=2,OB=4,即:OC2=OA•OB,又:OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:〔,0.〔3已求得:B〔4,0、C〔0,﹣2,可得直线BC的解析式为:y=x﹣2;设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;∴4﹣4×〔﹣2﹣b=0,即b=﹣4;∴直线l:y=x﹣4.所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:,解得:即M〔2,﹣3.过M点作MN⊥x轴于N,S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×〔2+3+×2×3﹣×2×4=4.〔二周长类3.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为〔﹣3,0、〔0,4,抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.〔1求抛物线对应的函数关系式;〔2若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;〔3在〔2的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;〔4在〔2、〔3的条件下,若点M是线段OB上的一个动点〔点M与点O、B不重合,过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.考点:二次函数综合题..专题:压轴题.分析:〔1根据抛物线y=经过点B〔0,4,以及顶点在直线x=上,得出b,c即可;〔2根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是〔5,4、〔2,0,利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可.〔3首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可;〔4利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到ON=,进而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可.解答:解:〔1∵抛物线y=经过点B〔0,4∴c=4,∵顶点在直线x=上,∴﹣=﹣=,∴b=﹣;∴所求函数关系式为;〔2在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=,∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,∴C、D两点的坐标分别是〔5,4、〔2,0,当x=5时,y=,当x=2时,y=,∴点C和点D都在所求抛物线上;〔3设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,解得:,∴,当x=时,y=,∴P〔,〔4∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,∴即得ON=,设对称轴交x于点F,则〔PF+OM•OF=〔+t×,∵,S△PNF=×NF•PF=×〔﹣t×=,S=〔﹣,=﹣〔0<t<4,a=﹣<0∴抛物线开口向下,S存在最大值.由S△PMN=﹣t2+t=﹣〔t﹣2+,∴当t=时,S取最大值是,此时,点M的坐标为〔0,.〔三平行四边形类4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A〔3,0、B〔0,﹣3,点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.〔1分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.〔2若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.〔3是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.考点:二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定..专题:压轴题;存在型.分析:〔1分别利用待定系数法求两函数的解析式:把A〔3,0B〔0,﹣3分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可;〔2设点P的坐标是〔t,t﹣3,则M〔t,t2﹣2t﹣3,用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=〔t﹣3﹣〔t2﹣2t﹣3=﹣t2+3t,然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时,PM最长为=,再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可;〔3由PM∥OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:当P在第四象限:PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能;当P在第一象限:PM=OB=3,〔t2﹣2t﹣3﹣〔t﹣3=3;当P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.解答:解:〔1把A〔3,0B〔0,﹣3代入y=x2+mx+n,得解得,所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3.设直线AB的解析式是y=kx+b,把A〔3,0B〔0,﹣3代入y=kx+b,得,解得,所以直线AB的解析式是y=x﹣3;〔2设点P的坐标是〔t,t﹣3,则M〔t,t2﹣2t﹣3,因为p在第四象限,所以PM=〔t﹣3﹣〔t2﹣2t﹣3=﹣t2+3t,当t=﹣=时,二次函数的最大值,即PM最长值为=,则S△ABM=S△BPM+S△APM==.〔3存在,理由如下:∵PM∥OB,∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,①当P在第四象限:PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3.②当P在第一象限:PM=OB=3,〔t2﹣2t﹣3﹣〔t﹣3=3,解得t1=,t2=〔舍去,所以P点的横坐标是;③当P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=〔舍去,t2=,所以P点的横坐标是.所以P点的横坐标是或.5.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A〔0,1,B〔2,0,O〔0,0,将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.〔1一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;〔2设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.〔3在〔2的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B的两条性质.考点:二次函数综合题..专题:压轴题.分析:〔1利用旋转的性质得出A′〔﹣1,0,B′〔0,2,再利用待定系数法求二次函数解析式即可;〔2利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,得出一元二次方程,得出P点坐标即可;〔3利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可.解答:解:〔1△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,又A〔0,1,B〔2,0,O〔0,0,∴A′〔﹣1,0,B′〔0,2.方法一:设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c〔a≠0,∵抛物线经过点A′、B′、B,∴,解得:,∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.方法二:∵A′〔﹣1,0,B′〔0,2,B〔2,0,设抛物线的解析式为:y=a〔x+1〔x﹣2将B′〔0,2代入得出:2=a〔0+1〔0﹣2,解得:a=﹣1,故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣〔x+1〔x﹣2=﹣x2+x+2;〔2∵P为第一象限内抛物线上的一动点,设P〔x,y,则x>0,y>0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2.连接PB,PO,PB′,∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,=×1×2+×2×x+×2×y,=x+〔﹣x2+x+2+1,=﹣x2+2x+3.∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:×1×2=1,假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则4=﹣x2+2x+3,即x2﹣2x+1=0,解得:x1=x2=1,此时y=﹣12+1+2=2,即P〔1,2.∴存在点P〔1,2,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′。