第二章 一元函数的连续性 一.基本内容1.函数在点处连续的定义：极限形式： 增量形式： “”语言：，，当时，有左右连续性：2．函数在区间上连续的定义3．间断点及其类型 间断点（不连续点）：第一类间断点（左右极限均存在）；第二类间断点（左右极限中至少有一个不存在）4．在区间上一致连续：，，,,当时，总有，则称在上一致连续．5．在点处连续的局部性质 局部有界性，局部保号性，四则运算保持连续性和复合保持连续性．6．闭区间上连续函数的整体性质反函数的存在连续性： 若函数在上严格单调且连续，则其反函数在以,为端点的闭区间上也是严格单调并且连续．有界性： 若函数在闭区间上连续，则在上有界．取最值性 若函数在闭区间上连续，则在上能取到最大，最小值．根的存在性若函数在闭区间上连续，且,则，使．界值性设函数在闭区间上连续，介于与之间，则使得．若函数在闭区间上连续，则在上一致连续．7．一切初等函数在其定义区间上连续二．难点解析与重要结果1.函数在点处连续的归结原则任一趋于的数列{}其对应的函数值组成的数列均收敛．【注】函数极限的归结原则中要求，这是由于与函数极限中有可能没定义，而在连续的定义中要求函数于的某邻域内有定义，在处必有定义，特别地{}即为趋于的一个数列．2. 为的间断点的正面刻画 ，, , 满足,但有≥．特别地,取=,则得数列{},使,但≥.3. 函数在区间上连续，, ，当时， 有. 函数在区间上一致连续： , , , 当时, 有.这两者的区别在于，对同一个，前者对于不同的，可找到不同的，既依赖于，又依赖于.事实上，对的依赖程度更高（为什么？），后者对同一个，总可找到一个，该对所有的均适用.4. 一致连续与一致收敛之间的区别与联系，可看成是给定一批极限{︱}.对每个数列极限而言，对给定的,由不同的数列可找到不一定相同的，当时，有是否一致收敛.就看是否有共用的的问题.在上一致连续可看成是给了一批函数极限{︱I}.对每一个函数的极限而言，对给定的，由不同的函数极限可找到不一定相同的.当时，有是否一致连续，就看是否有共用的的问题.5.一致连续的判定与性质 设在有限开区间内连续，则在内一致连续的充分必要条件是与均存在且有限. 设在上连续，且存在，则在上一致连续.设在上连续,在上一致连续，且,则在上一致连续，此结论在有斜渐近线时很有用.若，均在有限开区间上一致连续，则，均在上一致连续,若为无限开区间,则不一定一致连续.如，在上. 若导数在上有界，则在上一致连续.若在与上均一致连续，则在上一致连续.若在上一致连续，在上一致连续，则在上一致连续.6. 在上非一致连续的肯定刻画 ,且，但有．特别地,取,则设两点列,满足,但有．三．基本题型与方法1.证明连续性和一致连续性要证明一个函数在某点或某个范围内连续，绝大部分是通过连续性的定义直接证明．例1．按定义证明：在所有的无理点处连续．在中的有理点处不连续．在上一致连续,在上非一致连续．证明：,,. 显然当为中的无理数时，不等式成立.当时,,即. 而的正整数只有有限个，这些数为分母构成的中的有理数也仅为有限个，设为，取,则均落在之外，即当时.若为有理数，则将其表示成既约分数时的分母必大于.此时.若为无理数则. 即当时，总有,所以.故在中的无理点处连续，有理点处不连续.,由于,故可取，当且时,有,所以在上一致连续.取,,, 显然,则,但, 所以在上非一致连续.[注]函数是一个重要的反例，其解法与一般的求解不等式不同，它解的是其互补不等式. 第二小题的解法上，有一定的代表性，当遇到由两种不同的基本初等函数一起构成的某一初等函数时，常用到此插项方法. 狄立克雷函数在构造反例中的作用. 第2小题中由于=0,且在上连续，据前面的结论即证一致连续性.例2 设为上的单调函数，令,证明：在上右连续.证明：，由于,故, , 当时有.由于在上单调，故在任一点处的左、右极限均存在，所以，,令,有,即,所以，.故在右连续,由的任意性,即在上右连续.例3 设在上连续，存在，则在上一致连续.证明：由于存在，故，，当时，有.又在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.所以对上述,,当且时，有.取，当且时,若,则,即,且,故有.若,则，即,故有.即当时，总有.所以在上一致连续.【注】此题的方法具有很强的代表性，望注意体会掌握，特别是将区间叠起的一段的技巧.2．连续函数性质的证明一般地，连续函数性质的证明特别是闭区间上连续函数性质的证明，与实数的完备性理论是紧密联系的.例4 试分别用闭区间套定理、聚点定理、和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性定理.证明 设在闭区间上连续,证明在闭区间上有界. (1) 用闭区间套定理假设在闭区间上无界,中分为两个子闭区间,则至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为;中分为两个子闭区间,则至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为;如此下去则得一闭区间列满足：① , ② ③在闭区间上无界,.由①, ②及闭区间套定理知.又在连续,故在的某邻域内有界.由闭区间套定理的推论知,存在,当时,有,而在上无界,故在上无界,矛盾.所以在闭区间上有界. (2)用聚点定理假设在闭区间上无界,则,使得.取使得；使得； 使得；如此下去则得数列，使得.由于有界,由致密性定理, 由收敛子列，设，由于在连续，所以，而由的选取知，矛盾. 所以在闭区间上有界.(3) 用有限覆盖定理由于在闭区间上连续,即,在连续,故在处局部有界,即,使得当时,.显然,覆盖,由有限覆盖定理,必可从中选出有限个它们也能覆盖,设为,.取,则,有.所以在闭区间上有界.3．连续函数性质的应用连续性在有界和最值性方面的应用例5 设函数在有有限或无穷区间内连续，且,(为有限数，或).证明在内能取到最大或最小值.证明：若为有限数，且均有.则结论显然成立.若,使，若，由于，由极限的保号性，故,当或时，有，又在上连续，所以在上有最大值存在,且，此时最大值显然也是在上的最大值.若，则有最小值存在.若，任取，由于，故,当或时有，又在上连续，故有最小值存在，且，显然为在上的最小值.当时有最大值存在.当为无穷区间，类似地可证.例6 设在上连续，且有唯一的最值点.若数列且,证明：.证明：假设．则，使．取则使 .取，则，使.如此下去，则设的子列使得.由，由致密性定理,的收敛子列,设,则．又由的连续性，知．而由子列的性质知，.所以为的最值点矛盾．连续性介值方面的应用例7 设在上连续，且有反函数存在．证明在上严格单调．证明：假设在上非严格单调,则,使得或且.由于有反函数存在,故上不等式中的等号不能成立．即有.取介于与之间,由在上连续,使.又在上连续, 使.且,这与有反函数矛盾）．【注】有反函数存在．则对应必为一对一的，反过来一对一再加上介值性，必可推出严格单调和连续性.例8 设函数是连续函数．证明：,使.证明：若或,则结论成立．否则有，．令,则在上连续,且,由介值性定理即得.【注】此题即为不动点定理．例9 设函数在上连续，且,证明：，，有 ． 证明： 当时，取，则结论成立.否则令,则有 .若上式中的每一项均为，则结论成立.若不全为，则必既有正项，又有负项出现，由介值性定理,在正负项之间,即.【注】上面的两例给出了用介值性定理或根的存在定理的一般方法.引入辅助函数，将待证的等式转化为考察辅助函数的根的存在性问题，最后，只要找到辅助函数的两个点处的函数值异号.一致连续的性质的应用例10设函数在上一致连续,且无穷积分收敛.证明：.证明：假设，即,，,但有.又在上一致连续，故对上述,,当时,有. 故对,，，=，=+,但有 .由收敛准则知不存在,矛盾. 四.综合举例例11 设函数在上连续，,记,证明：在上连续.证明：由于在上连续，则在上一致连续,即,, 当,,且时有.所以,当,时，有) .同理，当时，有,故在上连续.例12 设函数在内每一点的左，右极限都存在，且,都有.证明在内连续.证明：,则,有,令,,即有.令,有,即有.在中 令,,且令,,所以有,即连续.由的任意性即有在内连续.【注】要证明函数的连续性，绝大部分情况下均直接从连续的定义出发.例13 证明：非常值的连续周期函数必有最小正周期.证明：设.下证的下确界属于，即证：仍为的周期，且，显然.由于,故由定义,,使得.又由的连续性，有,,即为一个周期.假设,则存在严格递减数列,且.则，,使,其中,故.所以,,即.这与非常数矛盾.所以,即，故.例14 设对上一切均有，且在处连续.证明：在上为常数. 证明：由于,即为偶函数，故可仅考察这一侧. 当时，由已知，有：,由于及在处的连续性,故有,又.即当时,有.所以,,有 .例15 设在上连续且有界，又设方程在至多只有有限个解，证明存在.证明 由于在上有界，设,对,由于方程在至多只有有限个解，设其最大解为,则当时, 全落在或中,记其为；对，由于方程在至多只有有限个解，设其最大解为,则当时, 全落在或中,记其为；如此下去，则得一闭区间列满足：① , ② ③ ，当时，有由①, ②及闭区间套定理知.由闭区间套定理的推论知，当时，.故可取,当时,有.所以.例16 设在上连续,,满足证明 存在,使得.证明 令,则在上连续.若中有零项或异号的项，由根的存在性定理,的存在性显然.若若中所有项均为正项或负项,不妨设,于是,即数列为单调递减有界数列,故收敛,设,又,故.注意到有界,由致密性定理有收敛子列,设,由在的连续性知, ,,而,,由极限的唯一性有.例14 设定义在上的函数满足：在处连续.,有. 证明：.证明：由.又在处连续, 故有.所以,,有 ,即在上连续.由已知,有 , ,又,故有 .即对一切整数有.又由 , , ,故有, , .所以, ,即对一切有理数,有.,使得.由在上的连续性,有 .例15 设在上连续且无上界,,在上不取最小值，证明在上严格递增（陕师大）.证明：由在上连续，且无上界，知只能在的左邻域内无上界.假设,且,但有.由于在的左邻域内无上界.故.使.由于在上连续,故有最小值存在.又且,故最小值点.即在内取到最小值.矛盾.例16 设在上非负连续,且，则,,使得.（上海交大）证明：作辅助函数.则在上连续,且 , 由的连续性，知,使得,即.例17 设,证明：方程在上有唯一实根,数列有极限存在，并求.（北师大）证明：,令,则当时,有.从而在上至少有一个实根,又, 当时,有,即在上严格递增.所以在上有且仅有一个实根.即在上有唯一实根..由于与分别满足： =1, .若,则1=>,矛盾，所以.即数列单调递减且有下界，所以数列收敛，设,由,在上式中令,得.。