第九章重积分 74页第一节 二重积分的概念与性质 74页一、重积分的概念与性质 （中值定理）设在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点（），使补例 确定积分的符号，其中，.解：由于，∴ ；因此习题8-2 二重积分概念与性质 64页2 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：xyD12(1,2) (1) 与，是顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)的三角形区域解:在D上,故 xyD35(5,1) (2) 与，其中D是矩形闭区域：.解:在D上,故 5 求 ，其中连续.解：∵连续，由中值定理，在D内至少存在一点（），使；故 练习册1选择：（1），,由轴，轴及直线所围解：在D内，（2），，D是解: 2 利用二重积分定义证明：(1)（其中为D的面积）证：令，则3：，其中D是园形闭域：解:令,在D上, ,,故 4设 是矩形闭区域：，矩形闭区域：；试用二重积分的几何意义说明的关系解:由对称性知：曲顶柱体的体积的4倍，所以 第三节 二重积分的计算 64页一 利用直角坐标计算二重积分 下用几何观点来讨论二重积分的计算，若D为X型区域，即可表为：，（特点：过且平行于轴的直线与边界相交不多于两点）， 有：上式右端的积分叫做先对后对的二次积分，即先把看作常数，把只看作的函数，并对从定积，然后把算得的结果（是的函数）再对计算在区间上的积分，也记为：因此有： 类似地，若D为Y型：则③ 若D既是X型区域又是Y型区域，那么两种积分顺序都能计算二重积分. 由此得到二次积分交换积分顺序的公式：特别，若，D为矩形区域：则补充例 计算，其中D由直线，及所围闭区域。
法1：画D，先y，后x，则：…法2：先x，后y,则：恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤. 在重积分的计算中也可利用对称性，下面举例说明.补例 计算，其中D：解：法一 极坐标 得 D： 法二 直角坐标：区域D关于轴对称，被积函数关于奇，故将二重积分化为二次积分且先对y积分时，将是奇函数在对称区间上的积分，∴一般地，设区域D对称于轴，其在轴上方的部分为，① 若被积函数关于变量为奇函数，即，则；② 若被函数关于变量y为偶函数，即，则. 同理，设区域D对称于y轴，其在y轴右方的部分为，① 若关于变量奇，即，则；② 若关于变量为偶，即，则.补例：下列等式是否成立，并说明理由.其中D:；: ① 解：成立. 因为积分区域D对称于轴，被积函数对x是奇函数，故积分值为0.② 解：成立.因D对称于和轴，被积函数对和都是偶，故可用上的四倍表示.③ 解：不成立.D虽然对称于和轴，但被积函数对和均为奇，所以，原式=0.补例：计算为，所围区域.解：关于xoz平面和yoz平面对称，被积函数关于奇函数，关于y是奇函数，则 1补例 计算，其中D是抛物线及直线所围成的区域.解：D对称于轴，被积函数关于和奇，因此，先后积分时有：习题8-3 利用直角坐标计算二重积分 73页1. 化二重积分 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的二次积分），其中D是：(1) 由轴及所围； 解: （3）由直线及抛物线所围闭区域； 解2 画出积分区域，并计算二重积分： (1) ，其中D是由所确定的闭区域解: (2) ，D是由，及所围成的闭区域解: 原式=补充其中是由圆周所围成的右半闭区域。
解： 3（1） 计算，D是由直线及抛物线所围区域；解：因 不能用有限形式表示出其结果，故先y后x积分. （2）计算所围成的区域1D4. 改变下列二次积分的积分秩序： (1)；补充1：补充2：补充3：5平面薄片所占区域由，和x轴所围，密度，求质量.解: 7 证明：aD证明：，所以：补例 计算下列二次积分：① ；；3 解：①因 不易积分，改变积分次序.由作出D的草图∴ 原式（2）因 不易积分，改变积分次序.由 作出D的草图， 原式补例 计算，其中D为所围成的平面区域.解：作D的草图法一 直角坐标系，先y后x积分 把D投影在x轴上，则 ，∴ 先x后y积分，把D投影在y轴上，则：，∴ 练习册1改变积分次序：2xx2D2画出积分区域，并计算下列二重积分的值；（1）的三角形闭区域解：如图（2）解：记1题图2题图3. 化二重积分 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的二次积分），其中D是： 由，及所围；4： 计算由四个平面所围成的柱体被平面截得的立体的体积 116第四节 利用极坐标计算二重积分 77页极坐标与直角坐标的关系为：，面积元素 D：，， ;则在极坐标系下将二重积分化为二次积分，主要以极点O的位置来划分.一般情况下积分顺序为先r后.补例：计算，解：作D的草图，令，园把D分为两部分 ∴ (极坐标) 补充： 求由曲面及所围成的立体的体积.zyxoD解：投影区域… 习题8-4 利用极坐标计算二重积分 79页1 画出积分区域，将积分化为极坐标下的二次积分，其中是: 补充：）解：，故：补充：）解：2. 计算下列积分 (1) ；解：原式 xyD12(2) ，D是由圆周，及直线所围成的在第一象限内的闭区域.解：原式4. 求由平面以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体体积.补充： ； 解：原式= 补充： （其中D：）解： .补充： ，其中D是由直线所围成的闭区域.解：原式=补充： 求面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积.解 投影到面得内部, 故练习册5把积分表为极坐标形式的二次积分，其中5题图解：所以6解：极坐标（2）： ，其中D是由直线所围成的闭区域.解：原式=由圆周所围.解 故 yx42O7求心形线所围图形的(在园外部分)的面积。
8：由螺线 与直线围成一平面薄片D，密度，求质量.解： 第五节 三重积分 80页 直角坐标下 若：，，则 其中为在平面上的投影.补充例：计算三重积分：为三个坐标面及平面所围闭区域解：将投影到面上，得投影区域，在内任取一点过此点作平行于轴的直线，该直线过穿入内，然后过平面穿出外，于是：；（或先，……有时，我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分，再计算一个定积分，若，即介于平面与之间，过z轴上区间内任一点z作垂直于z轴的平面截得平面区域（图4-8）则 通常与z有关. 此法也称为“先二后一法”或“截面法”习题8-5 利用直角坐标计算三重积分 86页1. 化三重积分 为三次积分，其中分别是 (1) 由与所围成的闭区域解：原式=（3） 化为三次积分，为由曲面所围解：，故： 3 计算，由与所围.(放到习题8—6为妥)原式=法2：（柱坐标）…法3：过面的截面： 老练习册19页习题8-5 利用直角坐标计算三重积分 86页1. 化三重积分 为三次积分，其中分别是: 由与所围闭区域解：原式= 2. 计算，其中为由，及所围成的闭区域。
解：原式= 3球心在原点，半径为R的球，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量应放到下一节：柱坐标或球坐标计算）解：4. 计算，其中为由及抛物柱面所围成的闭区域1 解：法2：（被积函数关于奇，……），所以：第六节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 87页 一 柱坐标 柱坐标： 体积元素 ，则,其中 在柱面坐标系下通常采用的积分顺序为先z后r再. 当是园柱体，柱的一部分，或锥体，或由旋转抛物面，锥面等所围成的；被积函数的形式为或时，用柱坐标计算三重积分简便.补充例：计算为所围区域.4解：∴ 3利用球面坐标下计算三重积分 球坐标：，体积元素 ，其中 当是球体或球体的一部分；被积函数的形式为时，通常采用球面坐标计算三重积分.补例． 计算，其中： 解：法一（直角坐标系），先z后再积分，则（令）方法二（先二后一法）；平行于面的平面截，，所以：法三：柱坐标由得：∴ 法四（球坐标）得：补例 计算，其中为：.解：型，区域是球体，球坐标由得： 例 将化为柱面坐标的三次积分，由，及所围成的区域.4解：是由两个平面和锥面所围成的区域.由，，得为，分为两部分： ；其中 在三重积分的计算中也可利用对称性。
一般地，设积分区域关于平面对称，其在平面上方的部分为，① 若被积函数关于变量z为奇函数，即，则；② 若被积函数关于变量z为偶函数，即，则. 同理可得积分区域关于yoz平面、xoz平面对称的结论.补例：下列等式是否成立，并说明理由.其中：；：，；： ① ，解：两个等式均成立. 因对三个坐标面均对称，被积函数第一个是关于x的奇函数，第二个是关于z的奇函数，因此积分值为0.② ，解：在第一个等式中，对称于yoz平面，而被积函数x在上是关于x的奇函数，故. 而是的第一卦限部分，其上自变量全部取正值，故有，所以虽然是的四倍，但等式不成立. 第二个等式中，被积函数是关于x、y的偶函数，而积分区域又对称于xoz平面和yoz平面，故等式成立.③ 解：等式成立. 因为对称于xoz平面和yoz平面，而被积函数或是关于x的奇函数（xz），或是关于y的奇函数（yz），或是关于x、y均为奇函数（xy），故积分值均为0.1 补例计算，其中是由平面及抛物柱面所围成的区域. 解：关于面对称，被积函数关于奇，因此I = 0习题8-6 利用极坐标和球计算三重积分 95页再看一下习题8-5的第3题： 计算，由与所围.原式=法2：（柱坐标）…法3：过面的截面：补充： 利用柱面坐标计算下列三重积分.(1) ，由不等式所围闭区域。
解： 则：（2），为曲面与平面围成的区域.解。