半角模型例题已知，正方形ABCD中，∠EAF两边分别交线段BC、DC于点E、F，且∠EAF﹦45° 结论1：BE﹢DF﹦EF结论2：S△ABE﹢S△ADF﹦S△AEF结论3：AH﹦AD结论4：△CEF的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB结论5：当BE﹦DF时，△CEF的面积最小结论6：BM2﹢DN2﹦MN2结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8：EA、FA是△CEF的外角平分线结论9：四点共圆结论10：△ANE和△AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11：MN﹦EF（可由相似得到）结论12：S△AEF﹦2S△AMN（可由相似的性质得到）结论5的证明：设正方形ABCD的边长为1则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣S3 ﹦1﹣x﹣y﹣(1﹣x)(1﹣y) ﹦﹣xy所以当x﹦y时，△AEF的面积最小结论6的证明：将△ADN顺时针旋转90°使AD与AB重合∴DN﹦BN′易证△AMN≌△AMN′∴MN﹦MN′在Rt△BMN′中，由勾股定理可得：BM2﹢BN′2﹦MN′2即BM2﹢DN2﹦MN2结论7的所有相似三角形：△AMN∽△DFN△AMN∽△BME△AMN∽△BAN△AMN∽△DMA△AMN∽△AFE结论8的证明：因为△AMN∽△AFE∴∠3＝∠2因为△AMN∽△BAN∴∠3＝∠4∴∠2＝∠4因为AB∥CD∴∠1＝∠4∴∠1＝∠2结论9的证明：因为∠EAN﹦∠EBN＝45°∴A、B、E、N四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证C、E、N、F四点共圆A、M、F、D四点共圆C、E、M、F四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型已知：正方形，、分别在边、上，且，、分别交于、，连.一、全等关系（1）求证：①；②DG2﹢BH2﹦HG2；③平分，平分.二、相似关系（2）求证：①；②；③.（3）求证：④；⑤；⑥.三、垂直关系（4）求证：①；②；③.（5)、和差关系求证：①；②；③.例1、在正方形ABCD中，已知∠MAN﹦45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动， ①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD中，∠B+∠D﹦180°，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.求证：∠EAF＝∠BAD例3、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE的长。
例4、请阅读下列材料：已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点段上，动点运动段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 例5、探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..练习巩固1：如图，在四边形ABCD中，∠B﹦∠D﹦90°，AB﹦AD，若E、F分别在边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD . 求证：EF=BE +DF.练习巩固2：如图，在五边形ABCDE中，AB﹦BC﹦CD﹦DE﹦EA，∠CAD＝∠BAE，求∠BAE的度数练习巩固3：已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，当绕点旋转到时，有．当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．练习巩固4(1)如图，在四边形ABCD中，AB﹦AD，∠B﹦∠D﹦90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：;(2) 如图在四边形ABCD中，AB﹦AD，∠B﹢∠D﹦180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3) 如图，在四边形ABCD中，AB﹦AD，∠B﹢∠ADC﹦180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（4）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长﹦ cm；②求证：EP﹦AE﹢DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．（5）.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF﹦45º．求证：EF﹦BE﹢DF．（2）若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF﹦45º，问⊿CEF的周长是否随△AEF位置的变化而变化？ （3）已知正方形ABCD的边长为1，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．图17练习巩固5、如图，已知在正方形ABCD中，﹦45°，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。
求证：（1）MN﹦MB﹢DN； （2）点A到MN的距离等于正方形的边长； （3）的周长等于正方形ABCD边长的2倍； （4）； （5）若﹦20°，求； （6）若，求； （7）； （8）与是等腰三角形； （9）练习巩固6、在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，，，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．（1）如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式_________；此时__________（2）如图②，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则_________(用表示)练习巩固7、如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M，N分别在AB，AC上，求△AMN的周长练习巩固8、如图，在正方形ABCD中，BE=3，EF﹦5，DF﹦4，求∠BAE﹢∠DCF为多少度巩固练习9、如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB﹦∠F﹦90°，∠A﹦∠E﹦30°。
△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．(1)①如图2、图3，当∠CDF﹦0° 或60°时，AM﹢CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF﹦30° 时，AM﹢CK___MK(只填“>”或“<”)．(2)猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM﹢CK_______MK，证明你所得到的结论．(3)如果，请直接写出∠CDF的度数和的值． 。