第一章 勾股定理培优专题专题一一、内容提纲1. 勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠a2＋b2=c22. 勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a的，， ……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③ 证明线段的平方关系等3. 勾股数的定义：假如三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数② 假如a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地鉴定直角三角形简朴的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，411.常用勾股数口诀记忆常见勾股数 3，4，5 ： 勾三股四弦五 5，12，13 ： 5·12记一生 6，8，10： 连续的偶数 7，24，25 ： 企鹅是二百五 8，15，17 ： 八月十五在一起特殊勾股数 连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，102.100以内的勾股数开头数字为20以内6. 3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82二、例题例1.已知线段a a a 2a 3a a 求作线段a a 分析一：a＝＝ 2a ∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：a＝∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边作图（略）例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2求对角线AC的长 例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A求证：AB2－BC2＝AB×BC 例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC 例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求证：AC＞BD证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF 作DH⊥AB于H，根据勾股定理 AH＝，FH＝ ∵AD＞BC，AD＞DF ∴AH＞FH，EH＞BH DE＝，BD＝∴DE＞BD即AC＞BD例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝ 求：的值 三、练习1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，③＝＿＿＿，④＝＿＿＿3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。
那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD求证：AE＝AF6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD＝BF，CD＝CE 求证：AE＝AF 7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP211.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，ACME⊥MF求证：EF2＝BE2＋CF212.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。
2023年希望杯数学邀请赛，初二试题） 13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100, 记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____7. 知识点一：勾股定理 假如直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理 （2）勾股定理只合用于直角三角形，而不合用于锐角三角形和钝角三角 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ， c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形 在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 ，所以经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思绪点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 总结升华：运用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点 （1）求A、C两点之间的距离 （2）拟定目的地C在营地A的什么方向 总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识 举一反三 【变式】一辆装满货品的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线． 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是___________类型四：运用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。
举一反三 【变式】在数轴上表达的点 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否对的 7、假如ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状 举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB 请问FE与DE是否垂直?请说明 经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1。