第3节 实腹式轴心受压构件 1.实腹式轴心受压构件的强度 2.实腹式轴心受压构件的整体稳定 3.实腹式轴心受压构件的局部稳定 4.实腹式轴心受压构件的刚度一、关于稳定的概述 简单地说，稳定平衡状态是指结构或构件或板件没有突然发生与原受力状态不符的较大变形而丧失承载能力的状态突然发生与原受力状态不符的较大变形而丧失承载能力叫丧失稳定（简称失稳），失稳之前的最大力则称为稳定承载力或临界力（相应的应力称为临界应力 1. 轴心受压构件稳定承载力传统计算方法概述 ① 欧拉公式 在求解轴心受压构件临界力时，采用了下列基本假定： · 杆件为两端铰接的理想直杆； · 材料为理想的弹塑性体； · 轴心压力作用于杆件两端，杆件发生弯曲时，轴心压力的方向不变； · 临界状态时，变形很小，可忽略杆件长度的变化； · 临界状态时，杆件轴线挠曲成正弦半波曲线，截面保持平面 由此得出欧拉临界力计算公式： N cr = π 2 EI l 2 ⋅ 1 1+ π 2 EI l 2 γ 1 (4-5)式中 γ1 是单位剪力作用下的剪切角。
对实腹式构件，其值很小，它对 Ncr 的影响不超过千分之五，略去不计： N cr = π 2 EI l 2 (4-6)相应的临界应力为： σ cr = N cr A = π 2 E λ 2 (4-7)欧拉公式理论上严谨，最后得出的解析式简单，对细长柱其计算结果与实测结果吻合较好，故现仍为基础课之经典公式 ② 改进的欧拉公式—切线模量理论 众所周知，构件越细长，越容易失稳，即失稳的临界应力越低当欧拉公式计算的临界应力 σcr ≤ fp （比例极限）时，欧拉假定中的线弹性假定才成立，欧拉公式的计算结果才接近实际情况当构件较为粗短，失稳时的临界应力较高， σcr>fp 时，杆件进入弹塑性阶段，虽仍可采用欧拉公式的形式进行计算，但应采用弹塑性阶段的切线模量 Et 代替欧拉公式中的弹性模量 E 因而，临界应力改用下式计算： σ cr = π 2 E t λ 2 (4-8)式中： E t = ( f y −σ)σ ( f y − f p ) f p ⋅E (4-9)这样，临界应力和杆件的长细比（ λ= l 0 /i,i= I/A ）为双曲线关系，如图 4-3-2-1 所示。
从图中可以看出， 对长细比λ < λ p （ λ p =π E/ f p ）的较粗短的柱，按式（4-8）计算的结果显然比按式（4-7）计算的结果（当长细比λ趋于无穷小，σ cr 趋于无穷大，这是不可能的）更符合实际情况若作为规定， 对于长细比 λ≥λ p 的细长柱，临界应力按式 (4-7) 计算，对长细比λ < λp 的较粗短的柱，按式（4-8）计算，则临界应力和长细比之间的关系还是一一对应的 杆件截面有两根主轴（x 和 y），有相应的长细比 ( λx 和λy) ，由式（4-7）或式（4-8）可知，两主轴方向长细比较大者对应的临界应力小，稳定（临界应力）由两主轴方向长细比较大者控制若两主轴方向长细比相等（λx = λy ），则两主轴方向的临界应力相等（σcr ， x = σcr,y ），两主轴方向的临界力也就相等（ Ncr,x =Ncr,y ），称为两主轴方向等稳定由于等稳定充分发挥了杆件的承载能力，这样的设计最为经济合理 图4-3-2-1 轴心受压构件的 σ cr −λ 关系 整体稳定计算的表达形式形式 σ= N A ≤ σ cr / γ R =( σ cr f y )( f y γ R )=φf (4-10)式中，φ（ = σ cr / f y ） 称为稳定系数。
需要特别指出： · 式（4-10）实质上是稳定验算公式，但却是强度（应力）验算形式； · 上述由条件 λx = λy 得出两主轴方向等稳定只有在临界应力和长细比一一对应的情况下才正确钢结构中，由于考虑了残余应力等的影响，临界应力σcr 或稳定系数φ与长细比λ不再一一对应，从而有多条柱子曲线（φ——λ的关系曲线称为柱子曲线）真正等稳定的充分和必要条件是φx = φy（或σcr,x = σcr,y 或 Ncr,x =Ncr,y ） 2. 强度问题和稳定问题的区别及提高稳定承载力的措施 从本章开始到以后各章，都会涉及到各类构件或板件的稳定问题，学习时应注意到稳定问题和强度问题有下列区别，以加深对稳定问题的理解并掌握提高构件稳定承载力的措施 ①强度问题研究构件一个最不利点的应力或一个最不利截面的内力极限值，它与材料的强度极限（或钢材的屈服强度）、截面大小有关稳定问题研究构件（或结构）受荷变形后平衡状态的属性及相应的临界荷载，它与构件（或结构）的变形有关，即与构件（或结构）的整体刚度有关所以，强度问题均按净截面计算，稳定问题均按毛截面计算（因为构件局部削弱对其变形或整体刚度影响不大） ② 从材料性能来看，在弹性阶段，构件（或结构）的整体刚度仅与材料的弹性模量 E 有关，而各品种的钢材虽然其强度极限各不相同，但其弹性模量 E 却是相同的。
因此，采用高强度钢材只能提高其强度承载力，不能提高其弹性阶段的稳定承载力相反，钢材强度愈高，强度问题愈不可能起控制作用，稳定问题愈有可能起控制作用而愈显突出 ③ 强度问题采用一阶（线性）分析方法，即在构件或结构原有位置（受荷前的位置）上建立平衡方程，求解其内力（称为一阶内力），并据此内力来验算强度是否满足要求在弹性阶段，按一阶（线性）分析方法求得的内力与外荷载的大小成正比，而与结构的变形无关；稳定问题采用二阶（非线性）分析方法，即在结构或构件受荷变形后的位置上建立平衡方程，求解其荷载，该荷载即是其稳定极限承载力 ④在弹性阶段，强度问题采用的一阶（线性）分析方法，由于内力与荷载成正比，与结构变形无关，因此可应用叠加原理即对同一结构，两组荷载产生的内力等于各组荷载产生的内力之和在二阶分析中，由于结构内力与变形有关，因此稳定分析不能采用叠加原理 不难看出，提高构件稳定承载力的一般措施是：增加截面惯性矩、减小构件支撑间距、增加支座对构件的约束程度总之，减少构件变形的措施均是提高构件稳定承载力的措施 二、实际轴心受压构件的受力性能 上述介绍的是理想轴心受压构件的稳定问题，实际轴心受压钢构件的受力性能与理想轴心受压构件有很大不同。
以欧拉公式为例，严格说来，其假定均不成立，只不过有的影响大些，有的影响小些而已已有的研究表明，实际轴心受压钢构件必须考虑下列因素对其受力性能的影响 1. 截面的残余应力 因为截面的残余应力是自相平衡的，所以它对构件的强度承载力无影响，对弹性稳定承载力也无影响，但对弹塑性稳定承载力有较大影响以图 4-3-2-2 所示的焊接工字形截面（忽略腹板的影响）为例，不均匀的残余应力与荷载产生的均匀应力叠加后为不均匀的应力，在荷载增加的过程中，截面残余压应力较大的区域必然先进入塑性状态，而截面其余部分仍处于弹性状态因此 ， 当轴心受压构件达到稳定临界状态时，截面被分为塑性区（图中阴影部分）和弹性区，塑性区的弹性模量 Ep =0 为了说明残余应力对轴心受压构件稳定承载力的影响，现以两根其它情况完全相同，一根有残余应力的构件（构 图4-3-2-2 焊接工字钢残余应力分布 件 1），一根无残余应力的构件（构件 2）为例并以欧拉公式计算的稳定承载力（钢结构中虽不用欧拉公式计算压杆的稳定承载力，但进行定性分析还是可以的）进行定性比较如下 ∵ N cr 1 N cr 2 = π 2 (EI) 1 / l 2 π 2 (EI) 2 / l 2 = (EI) 1 (EI) 2 = E I e + E p I p EI = I e I (4-11)∴ N cr,x 1 N cr,x 2 = I e,x I x ≈ 2⋅(kb)⋅t⋅ (h/2) 2 2⋅b⋅t⋅ (h/2) 2 =k (4-12) N cr,y 1 N cr,y 2 = I e,y I y ≈ t⋅ (kb) 3 /12 t⋅ b 3 /12 = k 3 (4-13)因为 k<1.0 ，所以 k3
2. 构件初弯曲 实际的轴心受压构件不可能是完全理想直杆在加工、制造、运输和安装过程中，构件不可避免地会产生微弯曲，这样，所谓的轴心受压构件实质上是压弯构件，弯矩的存在自然会降低纵向力（轴心力）的承载能力 实际轴心受压构件的稳定承载力除了上述截面残余应力、构件初弯曲有影响外，构件的初偏心、构件端部的约束条件等都有影响 三、设计规范对轴心受压构件稳定承载力的计算 根据以上的分析、介绍，真正的轴心受压构件实际上并不存在，实际构件都存在诸如残余应力、构件初弯曲、初偏心等所谓的缺陷，它们会在一定程度上影响轴心受压构件的稳定承载能力，有的影响还很大 现行钢结构设计规范对轴心受压构件临界力的计算，考虑了杆长千分之一的初挠度，并计入残余应力的影响，根据最大强度理论用数值方法计算构件的稳定承载力（临界力）根据临界力计算临界应力，计入材料抗力分项系数，即得在形式上和《材料力学》轴心受压构件稳定验算相同的表达式 σ= N A ≤ σ cr γ R =( σ cr f y )⋅( f y γ R )=φf (4-10)式中 φ = σcr/fy 为轴心受压构件的稳定系数，可从附表 ？ 查得，它与长细比 λ、截面形式、加工条件、验算稳定所绕的轴及钢号 有关， A 是构件的毛截面面积。
在进行理论计算时，由于考虑了不同截面形式、尺寸、加工条件和相应的残余应力，并考虑了 1/1000 杆长的初弯曲，若仍用一条柱子曲线（ φ - λ关系曲线）来表达，显然不合理，所以进行了分类，把稳定承载能力相近的截面及弯曲失稳所对应的轴合为一类，归纳为 a 、 b 、 c 、 d 四类每类中柱子曲线的平均值（即 50% 分位值）作为代表曲线 [[ 详图 4.6]] 这四条曲线各代表一组截面及弯曲失稳所对应的轴 [[ 详表 4.2]] 。