大学复变函数课件第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式 双边幂级数 设级数 〔〕它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；考虑函数项级数 〔〕作代换 那么〔〕即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数， 从而〔〕在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；当且仅当时，〔〕〔〕有共同的收敛区域， 此时，称为双边幂级数关于双边幂级数的性质，见p185 定理 定理1 〔洛朗定理〕设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内 其中， 是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析由柯西积分公式 ，其中 现考虑 而沿，，〔在上一致收敛〕由于函数沿有界，所以 故当：，其中 展式的唯一性：设 任意取某正整数，在上有界， ，故，展式唯一注解：我们称为f(z)的解析局部，而称为其主要局部例1、 求函数分别在圆环10或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级数展式是：假如w=0是的可去奇点、〔m阶〕极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、〔m阶〕极点或本性奇点因此 〔1〕假如当时n=1,2,3,…，，那么是f(z)的可去奇点。
〔2〕假如只有有限个〔至少一个〕整数n，使得，那么是f(z)的极点设对于正整数m，，而当n>m时，，那么我们称是f(z)的m阶极点〔3〕假如有无限个整数n>0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点注解1假设为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析；注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：定理1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限推论 设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界第四节 整函数与亚纯函数 1．整函数的分类 假如f(z)在有限复平面C上解析， 那么 那么它就称为一个整函数显然无穷远点是整函数在扩大复平面上唯一的孤立奇点我们按孤立奇点的类型，可以将整函数分类：定理1 设为整函数 ⑴为的可去奇点〔常数〕；⑵为的阶极点 即次多项式；⑶为的本性奇点无穷多个不等于〔此时称为超越整函数〕例如：；；2．亚纯函数的定义与性质 假如函数f(z)在有限平面上除去有极点外，无其他类型的奇点那么称它为一个亚纯函数。
亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点例如是一个亚纯函数，它有极点有理函数 也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点〔当n>m时〕或可去奇点〔当时〕，在这里是复常数，m及n是正整数定理1 为有理函数在扩大复平面上，除极点外没有其他类型的奇点第 页 共 页。