一元二次方程根的判别式（一）教学目标(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况．教学重点和难点重点：一元二次方程的根的判别式的运用．难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解．教学过程设计(一)复习1．请学生在黑板上写出一元二次方程的一般形式强调括号里的条件2．请学生上黑板写出一元二次方程（）的求根公式强调括号里的条件(二)新课1．由求根公式可知，一元二次方程（）是否有实数根，由的符号确定，因此我们把叫做一元二次方程（）根的判别式，记为Δ，即Δ＝注意不是Δ＝，注：“△”读作“delta”2．判别式定理及其逆定理定理1 方程有两个不相等的实数根；定理2 方程有两个相等的实数根；定理3 方程没有实数根；定理4 方程有两个实数根请学生上黑板填空例：方程有两个不相等的实数根老师再说明其逆定理也成立定理的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况．逆定理的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值或取值范围．根的判别式的应用举例1.不解方程，判断方程根的情况解题步骤：先算出判别式Δ的值，再作出结论。
例1 不解方程，判断下列关于x的方程根的情况⑴ ⑵ ⑶ ⑷解：⑴Δ＝，所以原方程有两个不相等的实数根⑵原方程可化为：，Δ＝，所以原方程有两个相等的实数根⑶原方程可化为：，Δ＝，所以原方程没有实数根⑷Δ＝，所以原方程有两个不相等的实数根特别提醒：应用判别式，必须先将一元二次方程化为一般形式目的是为了正确的确定的值例2 讨论关于x的方程(m－1)x2＋2mx＋(m－2)＝0的根的情况．分析：因为二次项系数是m－1，有可能为零，所以要分类讨论．解：若m≠1时，原方程是一元二次方程，△＝(2m)2－4(m－1)(m－2)＝4(3m－2)． 特别提醒：若关于x的方程的二次项系数含有字母，则要分类讨论，若二次项系数为0则为一元一次方程，若二次项系数不为0，当二次项系数不为0时，再写出判别式的表达式，若能确认判别式的符号，则写出根的情况的相应结论，若不能确定判别式的符号，则需分类讨论，列出相应不等式，求出字母的范围，再分情况，写出根的情况的相应结论练习：讨论关于的方程的根的情况当，方程有一个实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根）2.根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围。
解题步骤：根据题意，利用判别式定理的逆定理得到相应的方程或不等式，再解方程或不等式得到待定系数的值或取值范围例3 取何值时，关于的方程①⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？⑷有两个实数根？⑸有实数根解：方程的判别式Δ＝，⑴由题意得，又，当，且时，方程有两个不相等的实数根⑵由题意得， 当时，方程有两个相等的实数根⑶由题意得，当时，方程没有实数根⑷由题意得，又，当，且时，方程有两个实数根⑸方程①有实数根，若，则原方程为一元一次方程，，方程有一根实数根，若，则原方程为一元二次方程，方程的判别式Δ＝，得，当，且时，方程有两个实数根综上所述，当时，方程有实数根特别提醒：若能确认方程是一元二次方程则隐含二次项系数的条件，解题时不能遗漏，若不能确认是一元二次方程则要分类讨论注意方程有两个实数根和有实根的区别例4 已知方程2x2＋(k－9)x＋(k2＋3k＋4)＝0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根．解：因为方程有两个相等实数根，所以△＝0，即(k－9)2－8(k2＋3k＋4)＝0，k2－18k＋81－8k2－24k－32＝0，化简，得k2＋6k－7＝0，(k＋7)(k－1)＝0．所以k1＝－7，k＝1．当k＝－7时，原方程为2x2－16x＋32＝0，得x1＝x2＝4；当k＝1时，原方程为2x2－8x＋8＝0，得x1＝x2＝2．例5 若关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋(a2＋4a－5)＝0有实数根，试求正整数a的值．分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数．边同除以正数4，不等号的方向不变，得a2＋2a＋1－a2－4a＋5≥0，－2a＋6≥0，所以a≤3．因为a是正整数，所以a＝1，2，3．(注意：本题的算理是根据逆定理)例6 已知两个关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋(m＋5)＝0， ① (m－5)x2－2(m＋2)x＋m＝0． ②求：使方程①没有实数根且方程②有两个不相等的实数根的m的取值范围．分析：这两个方程的二次项系数都是含有字母的，那么是不是都要对二次项系数分类讨论呢？请仔细审题，如果方程①中m＝0，则方程①为－4x＋5＝0，是有实数根的，所以必是m≠0．所以方程①是一元二次方程应有 △＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝－4(m－4)＜0， ③又条件之二是“方程②有两个不相等的实数根”，所以②必是二次方程，应有△＝[－2(m＋2)]2－4(m－5)m＝4(9m＋4)＞0， ④并且还须加上一个条件m－5≠0． ⑤解：由分析，应列出条件组：，即得∴m＞4且m≠5．(注意提醒学生要写出m≠5)(三)课堂练习1．关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是________．（k＞－1且k≠0）(无实数根)3．若方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0有两个不同的正整数根，则整数k的值是2．（）4．若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b2＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x＋3＝0[ C ]．(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根 (D)根的情况不确定5．已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0．m取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程没有实数根？答案：△＝(2m＋1)2－4(m－2)2＝5(4m－3)． 6．k取什么值时，方程4x2－(k＋2)x＋k－1＝0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。
答案：令△＝(k＋2)2－4×4(k－1)＝0，k2－12k＋20＝0，k1＝2，k2＝10．7．已知关于x的方程x2＋x＋2k－1＝0有实数根，求k的取值范围解：∵方程x2＋x＋2k－1＝0有实数根，解①得，解②得∴8．若关于的方程有两个实数根，求的取值范围，（，且）9．关于的方程有两个实数根，求的取值范围且）10．关于的方程有实数根，求的取值范围四)小结1．根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是两个相等实根，还是不相等实根．2．运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a，b，c的值．3．要注意课本的“反过来也成立”．在解题时，应明确何时用定理1，2，3，何时用定理4，5，6．一元二次方程根的判别式（二）教学目标(一)使学生既会由根的判别式的值断定方程的根的情况；又会由已知根的情况，找出系数中某些字母的取值范围；(二)使学生会运用根的判别式，作出推理证明；(三)培养学生计算能力与严密的推理能力．教学重点和难点重点：运用根的判别式求系数中字母的值或证明某个结论．难点：解较为复杂的方程、不等式或证明题．教学过程设计(一)复习叙述根的判别式定理及其逆定理。
二)新课3．证明含字母系数的一元二次方程有、无实数根（有理根）解题步骤：先求出判别式Δ的表达式，然后对这个表达式进行恒等变形，使之符号明朗化，再根据Δ的符号性质，得出相应结论例1 求证：关于的方程有两个不相等的实数根证明：，整理得 Δ＝ 原方程有两个不相等的实数根例2 已知是三角形的三边，求证：关于的方程没有实数根分析：此题需证出△＜0．已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a＞0，b＞0，c＞0．还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”．证明：Δ＝ 是三角形的三边，且 ， Δ，所以原方程没有实数解例3 求证：无论k取何有理数，关于x的方程x2-2kx+4(k-1)=0都有有理数根.证明：∵=(-2k)2-4×4(k-1)=4k2-16k+16=4(k2-4k+4)=4(k-2)2无论k取何实数时，=4(k-2)2≥0，方程都有实数根；∴∴当k是有理数时，2k－2是有理数根因此，无论k取何有理数时，方程都有有理数根说明：在证明和判断含字母系数的一元二次方程根的情况时，将求出的关于字母系数的代数式通常先用配方法将代数式配成完全平方形式或一个完全平方的代数式与一个常数的代数和.当一元二次方程的二次项系数含字母时，讨论方程根的情况时，尤其要注意二次项系数不等于零的情况.特别提醒：恒等变形时经常需要配方或因式分解。
4．利用判别式判定三角形形状例4 a，b，c是三角形的三边长，若方程组只有一组解，则这个三角形一定是________三角形．解 由方程②得y=ax＋bc． ③③代入①，得x2－2ax＋b2＋ac－bc=0．∵方程组只有一组解，∴△=4a2－4(b2＋ac－bc)=0，即(a－b)(a＋b－c)=0，∵a，b，c是三角形的三边长，∴a＋b－c＞0，∴a－b=0，即a=b．故这个三角形一定是等腰三角形．练习：已知方程3x2＋2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac＝0有两个相等的实数根，其中a，b，c是一个三角形的三条边，求证：这个三角形是等边三角形．答案：△＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0．所以a＝b＝c．∴这个三角形是等边三角形5．利用判别式作几何计算例5 已知Rt△ABC的两直角边是方程的两实根，试求这个直角三角形的周长．解 ∵直角边长是方程的两实根，∴△=3p2－4p2＋8p－16≥0，即(p－4)2≤0，∴p=4．代入方程得：由勾股定理可知 直角三角形的斜边长的平方＝ 所以直角三角形的周长是综上几例，利用判别式来解决问题，关键是利用已知条件将所求的问题转化为一元二次方程，使问题得到迅速解决．我们在教学中对判别式要给予足够的重视．(三)课堂练习1．对于k＜9的一切实数，关于x的方程(k－5)x2－2(k－3)x＋k＝0（D）．(A)没有实数根 (B)有两个相等的实数根(C)有两个不相等的实数根 (D)不能肯定实数根的个数答案：在k≠5的前提下，△＝4(k－3)2－4k(k－5)＝4(9－k)，当k＜9且2．已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋(a－b＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）．(A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)不等边三角形 (D)直角三角形答案：选(B)，因为由已知△＝0，即△＝4(b－a)2－4(c－b)(a－b)＝0，4(b－a)(b－a＋c－b)＝0，(b－a)(c－a)＝0，故a＝b或a＝c．3．m为何值时，关于x的方程(m2－1)x2＋2(m＋1)x＋1＝0有实数根．答案：且时有两个实根，m＝1时，有一个实根。