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1、精品资料数学精选教学资料精品资料1.3 函数的基本性质课堂探究探究一 利用函数的图象求函数的最值函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标，最小值就是函数图象最低点的纵坐标，因而只要作出函数的图象就可以求出函数的最值，这是求函数最值的常用方法之一【典型例题1】 已知函数f(x)|x1|x1|.(1)画出f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的最小值思路分析：(1)讨论x与1的大小，化函数f(x)为分段函数形式；(2)函数图象的最低点的纵坐标是f(x)的最小值解：(1)f(x)|x1|x1|其图象如图所示(2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.方法小结用图象法求函数yf(x)的最值的步骤：(1
2、)画出函数yf(x)的图象；(2)依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值探究二 利用函数的单调性求最值1函数的单调性是其定义域的子集上的性质，是“局部”性质，而函数的最值是整个定义域上的性质，是“整体”性质2若函数f(x)在a，b上是增(减)函数，则f(x)在a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)3若函数f(x)在a，b上是增(减)函数，在b，c上是减(增)函数，则f(x)在a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则函数f(x)在a，b上一定有最值【典型例题2】 已知函数f(
3、x)x，x1,3(1)判断f(x)在1,2和2,3上的单调性；(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值分析：(1)证明单调性的流程：取值作差变形判断符号结论；(2)借助最值与单调性的关系，写出最值解：(1)设x1，x2是区间1,3上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2) .x1x2，x1x20.当1x1x22时，x1x20，且1x1x24，即x1x24f(x2)，即f(x)在1,2上是减函数当2x1x23时，4x1x20.f(x1)f(x2)，即f(x)在2,3上是增函数(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)24.又f(1)5，f(3)30)在
4、区间m，n上的最值可作如下讨论.对称轴xh与m，n的位置关系f(x)的单调性最大值最小值hnm，n f(m)f(n)mhnmhm，h h，n f(n)f(h)hf(m)或f(n)f(h)hnf(m)f(h)【典型例题3】 求函数yx22ax1在0,2上的最值解：y(xa)21a2.当a0时，0,2是函数的递增区间，如图(1)故函数在x0时，取得最小值1，在x2时取得最大值34a.当0a1时，结合函数图象(如图(2)知，函数在xa时取得最小值a21，在x2时取得最大值34a.当12时，0,2是函数的递减区间，如图(4)函数在x0时取得最大值1，在x2时取得最小值34a.规律总结探求二次函数在给定
5、区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：(1)对称轴在定义域区间右侧；(2)对称轴在定义域区间左侧；(3)对称轴在定义域区间内探究四 易错辨析易错点求函数的最值忽视定义域【典型例题4】 已知函数f(x)3x5，x0,1，则函数f(x)()A有最大值2，有最小值5 B有最大值5，有最小值2C有最大值1，有最小值0 D不存在最值错解：f(x)3x5是一次函数，值域是R，不存在最值，故选D.错因分析：错解中，忽视了f(x)的定义域是0,1，不是R.正解：f(x)3x5在0,1上是减函数，则函数f(x)的最大值是f(0)3055，最小值是f(1)3152.答案：B【精选】数学人教版教学资料【精选】数学人教版学习资料
