数的整除（0除外）内容提要：奇数 按能否被2 按约数的 1 自然数 质数偶数 整除分类 个数分类 合数 分解质因数 两 数 关 系 质因数 互质数 整除 能被2、3、5整除的数的特征 约数 倍数 公约数 公倍数 最大公约数 最小公倍数1、 整除的意义整数a除以整数b（b≠o），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a说明：小学阶段讲“数的整除”时，所指的数，一般指不包括零的自然数 例如：因为48÷6=8，所以我们说“48能被6整除”，或者说6能整除48 “整除”是两个数相除时，“除尽”中的一种特殊情况。
整除与除尽的关系可以用下面的集合图表示 除法 除尽 除不尽 例:4.5÷5=0.9 …… 例:整除 1÷3=0. 例: ……45÷5=9 ……由图示可知,整除的又可以说是除尽,但除尽的不一定都是整除2、 约数和倍数如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数例如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身例如：10的约数有：1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身例如：3的倍数有3、6、9、12……其中最小的倍数是3本身3、 数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：个位上是：0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
例如：28、90、304 都能被2整除 能被2整除的数，叫做偶数不能被2整除的数，叫做奇数 如将自然数按能否被2整除的特征分类，如下图： 自然数 奇数： 偶数： 1、3、5…… 0、2、4、6……注意：因为0能被2整除，所以0也是偶数2）能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除 例如：5、30、125、400都能被5整除3）能被3（或9）整除的数的特征：一个数各个数位上的数的和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除 例如：12、108、204、354、432都能被3整除，其中108、432又能被9整除 注意：能被3整除的数不一定能被9整除，而能被9整除的数一定能被3整除4）能被4（或25）整除的数的特征：一个数的末两位能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除 例如：16、404、1256、300都能被4整除50、325、500、1675都能被25整除5）能被8（或125）整除的数的特征：一个数的末三位能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除1125、13375、5000都能被125整除4、 质数和合数（1）质数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数 100以内的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（2）合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数 例如：4、6、8、9、12都是合数 注意：1不是质数也不是合数 自然数（0除外）除了1以外，不是质数，就是合数因此如果把自然数（0除外）按其约数的个数不同分类，可得下图： 自然数（0除外） 1 质数 合数5、 分解质因数（1）质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数例如：15=3×5，3和5就叫做15的质因数2）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
把一个合数分解质因数，通常用短除法先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，在把除数和商写成连乘的形式例如：把6和42分解质因数2 6 2 42 3 3 21 6=2×3 7 42=2×3×7应用：最简分数的分母分解质因数，如果只含有2、5两种质因数，则能化成有限小数6、 最大公约数和最小公倍数（1）公约数和最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数例如： 12的约数 18的约数 4 1、2 9 12 3、6 19 12和18的公约数其中6是12和18的最大公约数（2）互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
例如，3和7是互质数15和16是互质数成互质数的两个数，有下列几种情况① 1和任何自然数必互质② 相邻的两个自然数必互质③ 两个不同的质数必互质④ 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质⑤ 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质⑥ 2与任何奇数都互质如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质3）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其 中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数例如： 2的倍数 3的倍数 2 4 6 12 3 9 8…… 18…… 15……2和3的公倍数，其中6是2和3的最小公倍数注意：几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的求几个数的最大公约数和最小公倍数的，通常用短除法求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的最大公约数求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
例如：求30，42和60的最大公约数和最小公倍数用三个数的公约数除 2 30 42 603 15 21 30除到公约数只有1为止 5 7 1030，42和60的最大公约数是2×3=62 30 42 60用三个数的公约数除 3 15 21 30再用其中两个数的公约数除 5 5 7 10 除到两两互质为止 1 7 2 30，42和60的最小公倍数是2×3×5×7×2=420特殊情况下的几个数的最大公约数和最小公倍数见下表：数的关系最大公约数最小公倍数互质数（两两互质）1几个数连乘的积成倍数关系较小数较大数一般关系找较小数的约数或短除法（只把除数相乘求积）找较大数的倍数或短除法（把除数和商连乘求积）。