第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理教学目的：掌握实数完备性的基本定理，熟悉各定理证明思路及分析方法重点难点：重点为区间套定理的应用,难点为对有限覆盖定理的理解及使用教学方法：讲练结合在第一、二章中，我们证明了关于实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性可以举例说明，有理数集就不具有这种特性（本节习题4）有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理一 区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列具有如下性质：（¡）， ；（¡¡） ，则称为闭区间套，或简称区间套 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： （1） 定理7.1（区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，，即 ， （2） 证 由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有 （3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有 ， （4）且 （5）联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的是唯一的设数也满足 则由（2）式有 由区间套的条件（¡¡）得 ，故有 由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质： 推论 若是区间套所确定的点，则对任给的>0，存在N>0，使得当>N时有 注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立对于开区间列，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但不存在属于所有开区间的公共点. 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则”（定理2.10）,即 数列收敛的充要条件是:对任给的,存在,使得对有. 证 [必要性] 设.由数列极限定义,对任给的,存在,当时有 因而 [充分性] 按假设,对任给的,存在,使得对一切有,即在区间内含有中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”). 据此,令,则存在,在区间内含有中几乎所有的项.记这个区间为.再令，则存在，在区间内含有中几乎所有的项．记，它也含有中几乎所有的项，且满足 继续依次令照以上方法得一闭区间列，其中每个区间都含有中几乎所有的项．且满足即是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数， 现在证明数就是数列的极限．事实上，由定理7.1的推论，对任给的，存在，使得当时有 因此在内除有限外的所有项，这就证得． 二 聚点定理与有限覆盖定理 定义2 设S为数轴上的点集，为定点(它可以属于S，也可以不属S)．的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点． 例如，点集有两个聚点和；点集只有一个聚点；又若S为开区间，则内每一点以及端点、都是S的聚点；而正整数集没有聚点，任何有限数集也没有聚点． 聚点概念的另两个等价定义如下： 定义2’ 对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点． 定义2” 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下．定义2定义2’是显然的，定义2” 定义2也不难得到；现证定义2’ 定义2”设为S(按定义2’)的聚点，则对任给的，存在．令，则存在；令，则存在，且显然；令，则存在，且互异。
无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列，且由，易见 下面我们应用区间套定理来证明聚点定理． 定理7．2 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点． 证 因S为有界点集，故存在，使得，记 现将等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为，则且 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足, 即是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点． 由区间套定理，存在唯一的一点，．于是由定理7．1的推论，对任给的，存在，当时有．从而内含有S中无穷多个点，按定义2，为S的一个聚点． 推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列． 证 设为有界数列．若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的. 若不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为。
则存在的一个收敛子列(以为其极限). 作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性. 证 设数列满足柯西条件．先证明是有界的．为此，取则存在正整数N，当m=N+1及n>N时有 由此得=.令 M=max则对一切正整数n均有 于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列设=A．对任给的>0，存在K>0，当m,n,k>K时，同时有 (由柯西条件)， 因而当取m=n()时，得到 这就证明了. 定义3 设S为数轴上的点集，H为开区间的集合(即H的每一个元素都是形如()的开区间)．若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S．若H中开区间的个数是无限(有限)的，则称H为S的一个无限开覆盖(有限开覆盖)． 在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定．例如，若函数f在（a,b）内连续，则给定>0，对每一点x(a,b)，都可确定正数(它依赖于与x)，使得当(x;)时有〈．这样就得到一个开区间集 H=它是区间(a,b)的一个无限开覆盖． 定理7．3 (海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理) 设H为闭区间的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖 证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖． 将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为，则，且． 再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为，则，且．重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列，它满足 ，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖 由区间套定理，存在唯一的一点，．由于H是，的一个开覆盖，故存在开区间，使．由定理７．１推论，当充分大时有 这表明只须用H中的一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖．注 定理结论对开区间则不一定成立．例如，开区间集合构成了开区间的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住．练习:1,5作业:2,6。