第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 假如干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或假如干种代数运算，这些运算满足一定的运算法如此，如此称这样的一个体系为一个代数系统1.1.2 数域的定义定义〔数域〕 设是某些复数所组成的集合如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四如此运算是封闭的，即对任意两个数、〔可以等于〕，必有，如此称K为一个数域 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i |∈Q}，其中i =命题 任意数域K都包括有理数域Q证明 设为任意一个数域由定义可知，存在一个元素进而Z, 最后，Z，，这就证明了Q1.1.3 集合的运算，集合的映射〔像与原像、单射、满射、双射〕的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做定义〔集合的映射〕 设、为集合如果存在法如此，使得中任意元素在法如此下对应中唯一确定的元素〔记做〕，如此称是到的一个映射，记为如果，如此称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即假如都有 如此称为单射假如 都存在，使得，如此称为满射如果既是单射又是满射，如此称为双射，或称一一对应1.1.4 求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号设给定某个数域上个数，我们使用如下记号：,.当然也可以写成,.2. 求和号的性质. 容易证明，事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和，再求总和即可第一学期第二次课§2一元高次代数方程的根底知识1. 高等代数根本定理 设为数域以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体如果，如此称为的次数，记为定理〔高等代数根本定理〕 C的任一元素在C中必有零点命题 设是C上一个次多项式，是一个复数如此存在C上首项系数为的次多项式，使得证明 对作数学归纳法推论为的零点，当且仅当为的因式〔其中〕命题〔高等代数根本定理的等价命题〕 设为C上的次多项式，如此它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使证明 利用高等代数根本定理和命题1.3，对作数学归纳法2．高等代数根本定理的另一种表述方式定义 设是一个数域，是一个未知量，如此等式 〔1〕〔其中〕称为数域上的一个次代数方程；如果以带入〔1〕式后使它变成等式，如此称为方程〔1〕在中的一个根。
定理〔高等代数根本定理的另一种表述形式〕 数域上的次代数方程在复数域C必有一个根命题次代数方程在复数域C有且恰有个根〔可以重复〕命题〔高等代数根本定理的另一种表述形式〕给定C上两个n次、m次多项式，，如果存在整整数,,与个不同的复数，使得，如此1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性设，其中设的复根为〔可能有重复〕，如此所以；；我们记；；；〔称为的初等对称多项式〕于是有 (韦达定理) 设，其中设的复根为如此；；命题 给定R上次方程， ，如果i是方程的一个根，如此共轭复数i也是方程的根证明 由，.两边取复共轭，又由于R，所以.推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根证明 因为它的复根〔非实根〕必成对出现，它在C有奇数个根，故其中必有一根为实数第一学期第三次课§3线性方程组K上的线性方程组的初等变换举例说明解线性方程组的Gauss消元法定义〔线性方程组的初等变换〕 数域上的线性方程组的如下三种变换〔1〕 互换两个方程的位置；〔2〕 把某一个方程两边同乘数域一个非零元素；〔3〕 把某一个方程加上另一个方程的倍，这里的每一种都称为线性方程组的初等变换容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。
命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解证明 设线性方程组为 〔*〕经过初等变换后得到的线性方程组为〔**〕，只需证明〔*〕的解是〔**〕的解，同时〔**〕的解也是〔*〕的解即可设是〔*〕的解，即〔*〕中用代入后成为等式对其进展初等变换，可以得到代入〔**〕后也成为等式，即是〔**〕的解反之，〔**〕的解也是〔*〕的解定义〔数域上的矩阵〕 给定数域K中的个元素〔，〕把它们按一定次序排成一个行列的长方形表格称为数域K上的 一个行列矩阵，简称为矩阵定义〔线性方程组的系数矩阵和增广矩阵〕 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到作为最后一列，得到的矩阵称为方程组的增广矩阵定义(矩阵的初等变换) 对数域上的矩阵的行〔列〕所作的如下变换（1） 互换两行〔列〕的位置；（2） 把某一行〔列〕乘以K一个非零常数；（3） 把某一行〔列〕加上另一行〔列〕的倍，这里称为矩阵的行〔列〕初等变换定义〔齐次线性方程组〕 数域上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组这类方程组的一般形式是命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；证明 对变元个数作归纳。
说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关〔这不同于高次代数方程〕事实上，在〔通过矩阵的初等变换〕用消元法解线性方程组时，只进展加、减、乘、除的运算如果所给的是数域上的线性方程组，那么做初等变换后仍为上的线性方程组，所求出的解也都是数域中的元素因此，对上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域中进展第一学期第四次课第二章 向量空间与矩阵第一节 m维向量空间2.1.1 向量和m维向量空间的定义与性质定义〔向量〕设是一个数域中个数所组成的一个元有序数组称为一个m维向量； 〔〕称为一个m维列向量；而称为一个m 维行向量我们用记集合定义〔中的加法和数量乘法〕 在中定义加法如下：两个向量相加即一样位置处的数相加，即.在定义数量乘法为用中的数去乘向量的各个位置，即对于某个，定义〔维向量空间〕 集合和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域上的m维向量空间命题〔向量空间的性质〕 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质〔其中表示数域，表示中的向量〕：（1） 加法结合律：；（2） 加法结合律：（3） 向量〔0,0,……,0〕〔记为〕具有性质：对于任意，有；（4） ，令，称其为的负向量，它满足；（5） 对于数1，有（6） 对任意数, ，有；（7） 对任意数, ，有；（8） 对任意数，有 。
2.1.2 线性组合和线性表出的定义定义〔线性组合〕 设 ，，如此称向量为向量组的一个线性组合定义〔线性表示〕 设，如果存在，使得，如此称可被向量组线性表示2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以与等价表述定义〔线性相关与线性无关〕 设如果存在不全为零的，使得，如此称线性相关，否如此称为线性无关注意：根据这个定义，线性无关可以表述如下：假如，使得，如此必有如果，显然线性相关当且仅当齐次线性方程组有非零解，线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解命题 设，如此下述两条等价：1〕线性相关；2〕某个可被其余向量线性表示证明 1〕2〕. 由于线性相关，故存在不全为零的个数，使得不妨设某个于是，由向量空间的性质有2〕1〕. 如果某个可被其余向量线性表示，即存在，使得.由向量空间的性质有.于是线性相关推论 设，如此下述两条等价：1〕线性无关；2〕任一不能被其余向量线性表示第一学期第五次课2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系定义〔线性等价〕 给定的两个向量组， 〔*〕， 〔**〕如果向量组〔**〕中每一个向量都能被向量组〔*〕线性表示，反过来向量组〔*〕中的每个向量也都能被向量组〔**〕线性表示，如此称向量组〔*〕和向量组〔**〕线性等价。
定义〔集合上的等价关系〕 给定一个集合，上的一个二元关系“~〞称为一个等价关系，如果“~〞满足以下三条：〔1〕 反身性：；〔2〕 对称性：；〔3〕 传递性：与等价的元素的全体成为所在的等价类命题 假如与在不同的等价类，如此它们所在的等价类的交集是空集进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并证明 记所在的等价类为，的等价类为假如它们的交集非空，如此存在，于是有由等价关系定义中的对称性和传递性即知，与和在不同的等价类矛盾这就证明了和所在的等价类交集是空集而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集综上可知，命题成立命题 给定两个向量组， 〔1〕， 〔2〕且〔2〕中每一个向量都能被向量组〔1〕线性表示如果向量能被向量组〔2〕线性表示，如此也可以被向量组〔1〕线性表示证明 假如向量组〔2〕中的每一个向量都可以被向量组〔1〕线性表示，如此存在，使得 () . 〔i〕由于能被向量组〔2〕线性表示，故存在，使得.将〔i〕代入，得，即可被线性表示。
由此易推知命题 线性等价是的向量组集合上的等价关系定义〔 向量组的极大线性无关组〕 设为中的一个向量组，它的一局部组称为原向量组的一个极大线性无关组，假如〔1〕 线性无关；〔2〕 中的每一个向量都可被线性表出容易看出向量组和线性等价引理 给定上的向量组和，如果可被线性表出，且，如此向量组线性相关证明 由于可被线性表出，故存在，使得 〔*〕设. 〔**〕将〔*〕代入〔**〕，得.设各系数均为零，得到， 〔***〕〔***〕是一个含有个未知量和个方程的其次线性方程组，而，故方程组〔***〕有非零解，于是存在不全为零的，使得〔**〕成立由线性相关的定义即知向量组线性相关定理 线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等证明 设和中的线性等价的向量组设向量组和分别是原向量组的极大线性无关局部组，如此由线性无关局部组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关局部组线性等价由于可将中的每一个向量线性表出，知〔否如此由引理知向量组线性相关，矛盾〕推论 任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。
定义〔向量组的秩〕 对于给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量的数量称为该向量组的秩第一学期第六次课第二章 §2矩阵的秩2.1.1矩阵的行。