§ 8 - 3统计物理学的基本概念一一系统的微观运动状态及其描述出发点：宏观物质系统是由大量微观粒子（如 分子、原子等成的，物质的宏观特性是大量微观 粒子行为的集体表现，宏观物理量是相应的微 观物理量的统计平均值1、微观粒子运动状态的量子描述在量子力学中，微观粒子的运动状态称为 量子态一般情况下，哈密顿算符H不显含时 间t，量子态用定态薛定谔方程hva=8aVa解 出的波函数W来描写，其中以表示一组量子数， a其数目等于粒子的自由度；e是粒子的能量， 它往往取离散值.ei2、微观粒子运动状态的经典描述粒子的运动状态的描述：（广义坐标，广 义动量）一个具有r个自由度的多原子分子在任一 时刻的运动状态：（纤约，…，％，P1，P2,…,Pr）在该时刻的 值来确定位形空间：用r个广义坐标定义的r维空间;动量空间：用r个广义动量定义的r维空间相空间（或p空间）：用q1,q2,...,qr和p p ... p作为直角坐标构成2r维空 r 1^ r 2, ，f r间相点：粒子的运动状态在R空间中的代表占-八；相轨：相点在P空间中所画出的轨迹例、自由粒子限制在一维轨道上运动，它 的自由度为1用% and Px表示例子的坐 标和动量。
以x and Px构成二维的相空间3、微观粒子运动状态的半经典描述在统计物理学所处理的一些问题中，认为 微观粒子近似地沿着经典力学所确定的轨道运 动，可采用半经典的描述方法来处理问题半经典方法：1） 近似地用广义坐标q和广义动量p 描述微观粒子的运动状态；2） 对这种描述加上量子力学的限制•微观粒子每一个可能的量子态对应于^空间中体积为h r的一个相格？按照量子力学，要同时确定微观粒子的坐标q和动量P不确定的范围简写为问4 -入・ （8. 23）即：在1个自由度时，二维日空间的一个代表 点（q, P）的周围存在着大小h的面积元，在这 个面积元内不可能准确地确定代表点的位置对于具有r个自由度的微观粒子，在2r 维日空间中任一代表点周围的相体积元的大 小将为hr.可以证明，如果我们把日空间看成是由相 体积为hr的基本单元——相格组成的，并略去 相格内各位置之间的差异，则这些相格可以与 微观粒子的量子态一一对应例、 将相空间划分为若干个体积元 4 i （1 = 1,2,，.则在体积元、中，粒子可能的状 态数为、® J hr例、三维自由粒子的一个状态对应于相空 间中体积为h 3的一个体积元以V表示容器的 体积。
在体积V内，在p to p +dp , p to p +dp , p to p +dpx x x y y y z z z的动量范围内，三维自由粒子可能的状态数Vdp dp dph2~z整个系统微观运动状态的量子描述和经典描述4、近独立粒子系统（只限于讨论全同粒子组成的近独 立粒子系统）是指系统中粒子之间的相互作用 很弱，以致相互作用的平均能量远小于单个粒 子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互 作用，可以将整个系统的能量表达为单个粒子 的能量之和注意：•系统正是凭借着粒子之间的微弱的相 互作用，使粒子之间可以发生能量和 动量的交换，从而使系统能够在各个 微观运动状态之间一个接一个地迅速 变化，逐渐趋于平衡态•这种相互作用的微弱性，保证了每个 粒子能够保留其孤立时的量子态的排 布，而不受其他粒子的干扰例、理想气体就是由近独立粒子组成 的系统，可以认为它的分子除了 碰撞的瞬间之外都没有相互作 用5、量子描述中的定域系玻耳兹曼系统在系统微观运动状态的量子描述中，要区别 定域和非定域两种情况• 定域系：对于全同粒子所组成的固态系统，它们的粒子局限在各自的晶格 位置上作小振动，可以用这些位置来 标记或分辨它们。
对于定域系，只有确定每一个粒 子的量子态，才能确定系统的微观运 动状态例、如晶体中各个原子的振动是 独立的，那么确定晶体的振动状态就 要求确定每一个原子的一组振动量子数以，对于由N个定域振子组成的 系统，应该由N个量子数组％%, ,aN 来描述该系统的微观运动状态这些 量子数组的不同取值，表示整个系统 不同的微观运动状态• 玻耳兹曼系统由可分辨的全同近独立粒子所组 成的，而且处在每一个单粒子量子态 上的粒子数不受限制的系统到此的结论是：对于可分辨的、 全同的近独立粒子组成的系统，由确 定每一个粒子的单粒子量子态可以描 述系统的微观运动状态6、量子描述中的非定域系 费米系统和玻色 系统•对于不可分辨的全同粒子，要确定由全同近独立粒子组成的系统的微观 状态，只能确定每一个单粒子量子态 上各有多少个粒子•全同粒子系的交换对称性要求其波函 数对于粒子交换具有一定的对称性： 对称（玻色子），或者反对称（费米子）费米系统：遵从泡利不相容原理，即在 每一个单粒子量子态上，最 多只能容纳一个费米子玻色系统：不受泡利不相容原理的约 束，处在同一个单粒子量子 态上的玻色子数目不受限制7、经典描述中的相格在经典描述中，为了确定由可分辨的全同粒子所组成的近独立粒子系的微观运动状态，必须确定在空间中相应于每一个粒子的运动状态的代表点（相格）的位置。
二等概率假设1、系统的宏观态与微观态——、由一组完备的宏观量（态参量）所决定的 系统状态例、理想气体的宏观态可以由气体体积 V、总粒子数N和总能量E来确定，以V, N, E 为坐标建立状态空间，其中的一点对应于理想 气体的一个宏观态• 微观态：相应于同一个宏观态，系统 可以有大量的各种不同的微观运动状 态，其中每一种运动状态称为系统的 一个微观态例、对于理想气体，根据量子力学，当系 统的体积V 一定时，单粒子能级"J组成 一定的离散谱即使再给定粒子数N和总 能量E，在这组确定的能谱上粒子数的分 配还可以有大量不同的方式，所有这些方 式都可以同时满足以下条件：Z N. = £ N.1 = ^ N." = • • • = N,i i i£ NR = £ N. fe i = £ Nj'Ej = ・・・ =E -ii i•结论：一组宏观量尽管可以唯一地确定 一个宏观态，但远远不能唯一地确定微 观参量的值2、统计规律性•大量粒子组成的系统具有统计规律性 对于由大量粒子所组成的系统，我们 所面对的是一定宏观条件下的大量微观 态，不可能也没有必要去追随各个微观态 的复杂变化，因此这些系统的宏观性质不 能归结为单个粒子运动的简单的叠加。
诸 如压强和温度等宏观量，它们只对大量粒 子的集体才有物理意义，对单个粒子没有 意义•统计规律性出现的基础当系统的宏观态完全确定后，系统中 各粒子的微观运动状态仍然是不确定的， 而且是在不断地变化着的；各种微观态各 以一定的概率出现，成为统计方法中的偶 然事件或随机事件系统中个别粒子的行为受偶然性的 支配，而整个系统的行为却受必然性的支 配系统的宏观量具有确定的数值反映了 这种必然性，而系统的不同微观态各以一 定的概率出现反映了这种偶然性•统计物理学最基本的任务-确定各微观 态出现的概率按照统计规律性，宏观物质系统的特 性是大量微观粒子运动的集体表现，宏观 量是相应的微观量的统计平均值只要知 道各个微观态出现的概率，就可以用统计方法来求出微观量的统计平均值3、 等概率假设对于处在平衡态的孤立系，其各个可能的 微观态出现的概率相等等概率假设是平衡态统计理论的基础，其 正确性已为大量的实验所证实其实，不难理解这个假设：既然这些微观 状态都同样满足具有确定的粒子数、体积和能 量的宏观条件，没有理由认为其中哪一个状态 出现的概率更大一些这些微观状态应该是平 权的三 三类系统的分布和微观态数设一个系统由大量的全同近独立粒子组成.81 (1=1,2,.•.)：粒子的第i个能级；能级8 的简并度；N.-i能级与上的粒子数，{Nl}:数列叫,N2,…,N.，-，称为一个分布 (distribution)。
对于具有确定的N, E和V的系统，有 可能实现的分布{N.}必须满足下列约束条 件：X N. = N，i(8. 24)X N.8 . = E -i(8. 25)满足这两个约束条件的粒子占据量子态的方式是大量的，因此系统存在着多种微观状态一个分布｛码｝相应的系统微观态数W=?（分类讨论）1、玻耳兹曼系统（可区分粒子系统）由于粒子可以标记以进行分辨，处于不同量子 态的任意两个粒子相互对换后，其占据方式将发生 变化，因此将属于不同的微观态，但其分布｛弗并 未改变在分布｛N.｝确定后，确定定域系的微观态 必须知道★每个能级与上是哪%个粒子★在每一个能级s.上这N个粒子分布在.个量子态上的可能方式数 iN①..当N个编了号的粒子占据能级8i上« .个简并的量 子态时，第一个粒子可以占据能级8 i上①,.个量子态中 的任何一个，有①i种可能的占据方式；由于一个量子 态可以容纳的粒子数不受限制，在第一个粒子占据了某 一个量子态之后，能级8i上的第二、第三、……个粒子 仍然有①i种可能的占据方式因此，n i个可分辨粒子 占据能级8i上①i个量子态的方式数为①“-（连续完成几件没有关联的事，若完成第一件事的做法有S种， 第二件事的做法有r种…，则完成这些事共有sr...种做 法）★ N[, n2,・・・,N,..・个可分辨粒子分别占据81,8 2, ...,8 j，…各能级上各量子态的总方 式数为n o出（同上连续完成几件没有关联的I事）★将N个粒子互相交换，不管是否在同 一能级上，交换数是N!（全排列广在此交 换中应除去在同一能级上Nj个粒子的交换n N「。
如此得因子n!/n N.!(不尽相异元 ' i 1素的全排列)这样，对于玻耳兹曼系统或可分辨粒子系统，与一个确定的分布{Nj对应的微观态数为w =£ n« Ni - bm nN! . i.ii(8. 26)★半经典描述考虑到微观粒子每一个可能的量子 态对应于日空间中体积为/的一个相 格，由式(8. 26)可得，与分布｛N ｝对应 iJ 的玻耳兹曼系统微观态数的半经典表达 式为"n^ n 普) %(8. 27)其中-是p空间中能量为£的粒子所占据的 i i相体积2、玻色系统特点： 组成系统的玻色子是不可分辨的，每一个单粒子量子态上的粒子数不受限制N.个粒子占据单粒子能级6 ,上3 i个简并量 子态的可能方式？例、N. = 10个粒子在« . = 5个量子态上的一种排列量子态1, 2, 3, 4, 5分别用①,②，③，④，⑤表示，它们分别占据有2, 1, 0, 3, 4个全同粒子(用x表示)将量子态①固定在这一排列 的最左端，则其余的量子态和粒子的排列方式总数是 (-.+ N. -1)! 二 14!种因为粒子不可分辨，应该除以粒子之间的交 换数N.! = 10!以及量子态之间的交换数S . -1)! = 4!,因此， N. = 10个全同的不可分辨的玻色子占据能级6 .上® . = 5个量子态，可能的占据方式数为(气 + N -1)! = 14! = mi.N. !(^. -1)! TOT4!与一定的分布｛n.｝相应的微观态数临，等于上述对各个能级8的结果的乘积i吟=n 急 + Ni -1)!-B N.! (w. -1)!(8. 28)3、费米系统特点：组成系统的费米子是不可分辨的。