第一部分双曲线有关知识点解说一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：|F12）的点的轨迹1双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜F|（PF1PF22aF1F2（a为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有实质的不一样.当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是向来线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：x2y21和y2x21这里b222，此中|F1F2|=2c.2222（a＞0，b＞0）.caabab要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3. 双曲线的标准方程鉴别方法是：假如x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；假如y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不必定大于b，所以不可以像椭圆那样，经过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的地点；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外面：(1)点P(x0,y0)在双曲线x2y21(a0,b0)的内部x02y021.a2b2a2b2(2)点P(x0,y0)在双曲线x2y21(a0,b0)的外面x02y021.a2b2a2b2三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为x2y21渐近线方程：x2y2a2b2a2b2(2)若渐近线方程为ybxxy0双曲线可设为aab(3)若双曲线与x2y21有公共渐近线，可设为x2y2a2b2a2b2点在y轴上）.四．双曲线的简单几何性质22x2－y2=1（a＞0，b＞0）ab0ybx.ax2y2.a2b2（0，焦点在x轴上，0，焦yM1M2P⑴范围：|x|≥a，y∈R⑵对称性：对于x、y轴均对称，对于原点中心对称⑶极点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）⑷渐近线：F1A1K1oK2A2F2x①若双曲线方程为x2y21渐近线方程x2y20ybxa2b2a2b2a②若渐近线方程为ybxxy0双曲线可设为x2y2aaba2b2③若双曲线与x2y21有公共渐近线，可设为x2y2（0，焦点在x轴上，0，a2b2a2b2焦点在y轴上）1④与双曲线x2y2共渐近线的双曲线系方程是x2y2(0)a2b21a2b2⑤与双曲线x2y21共焦点的双曲线系方程是x2ky21a2b2a2b2k六.弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线订交于两点A、B，且x,x、的横坐标，则AB12分别为AB＝1k2x1x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝11。
k2y1y2第二部分典型例题剖析题型1：运用双曲线的定义例1.以下图，F为双曲线C:x2y21的左916焦点，双曲线C上的点Pi与P7ii1,2,3对于y轴对称，则P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是（）A．9B．16C．18D．27[分析]PFPFP2FP5FP3FP4F6，选C16练习：设P为双曲线x2y21上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1：2：，则12||PF|=32△PF1F2的面积为（）A．63B．12C．123D．24分析：a1,b12,c由|PF1|:|PF2|3:2①13,又|PF1||PF2|2a2,②由①、②解得|PF1|6,|PF2|4.PF1F2为直角三角形，SPF1F21|PF1||PF2|16412.应选B22题型2求双曲线的标准方程例2已知双曲线C与双曲线x2－y2=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．164解：设双曲线方程为x222－y2=1.由题意易求c=25.ab又双曲线过点（32，2），∴(32)2－4=1.a2b2又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为x2y2=1.－8122练习：1已知双曲线的渐近线方程是x，焦点在座标轴上且焦距是，则此双曲线的方程y210为；解：设双曲线方程为x24y2，当0时，化为x2y21，251020，44当0时，化为y2y21，251020，44综上，双曲线方程为x2y21或y2x212055202. 已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线订交于点P，则P点的轨迹方程为A．x2y21(x1)B．x2y21(x1)882y22y21(x1)C．x81（x>0）D．x10[分析]PMPNBMBN2，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B题型3与渐近线有关的问题例3.焦点为（0，6），且与双曲线x2y21有同样的渐近线的双曲线方程是2A．x2y21B．y2x21C．y2x21D．122412242412[分析]从焦点地点和拥有同样的渐近线的双曲线系双方面考虑，选Bx2y212412练习：过点（1，3）且渐近线为y1x的双曲线方程是2解：设所求双曲线为x2y2k1点（1，3）代入：k1935.代入（1）：444x2y2534y2x21即为所求.443553题型4弦中点问题——设而不求法例4.双曲线221，），则此弦所在的直线方程为（）xy的一弦中点为（21A.y2x1B.y2x2C.y2x3D.y2x33解:设弦的两头分别为Ax1,y1,Bx2,y2.则有：x12y121x12x22y12y220y1y2x1x2.x22y221x1x2y1y2∵弦中点为（2，1），∴x1x24y1y2x1x22.y1y2.故直线的斜率kx2y1y2。