循环冗余校验码在串行传送(磁盘、通讯)中，广泛采用循环冗余校验码(CRC)CRC也是给信息码 加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法检错能力与 生成多项式有关，只能根据书上的结论死记循环冗余校验码(CRC)的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编 码长度为N位，因此，这种编码又叫(N, K)码对于一个给定的(N, K)码，可以证明存 在一个最高次幕为N-K=R的多项式G(x)根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫 做这个CRC码的生成多项式校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R 位,则 可表示成C(x)*2R,这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置通过C(x)*2R除 以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码几个基本概念1、 多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幕次对应二进制数的最高位，以下各位对应 多项式的各幕次，有此幕次项对应1,无此幕次项对应0可以看出：x的最高幕次为R,转换 成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)o如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1,可转换为二进制数码11011而发送信息位1111,可转换为数据多项式为C(X)=X3 + X2 + X+12、 生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保 持不变在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码在接受方利用生成多项式 对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置应满足以下条件：a、 生成多项式的最高位和最低位必须为1ob、 当被传送信息(CRC码)任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数 不为0oC、不同位发生错误时，应该使余数不同d、对余数继续做模2除，应使余数循环将这些要求反映为数学关系是比较复杂的但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：NK码 距 dG（x）多项式G(x)743X3 + X+11011743X3 + X2+11101734X4+X3 + X2+111101734X4+X2 + X+11011115113X4+X+1100111575X8+X7 + X6+X4+111101000131263X5 + X2+110010131215X10 + X9 + X8 + X6 + X5 + X3+11110110100163573X6+X+1100001163515X12 + X10 + X5 + X4+X2+1101000011010110411024X16+X15 + X2+111000000000000101图9常用的生成多项式3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。
所以实际上就是异或然后再移位移位做下一位的模2减步骤如下：a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位b、除数右移一位，若余数最高位为1商为1并对余数做模2减若余数最高位为0,商为0,除数继续右移一位c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数例】1111000除以1101：1011 商1111000——被除数1101 除数0100001101010101101111 余数CRC码的生成步骤1、 将x的最高幕次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数2、 将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R3、 用生成多项式(二进制数)对信息码做模2除，得到R位的余数4、 将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+14位的原始报文为1010，求编码后的解：1、 将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数10112、 此题生成多项式有4位(R+1)，要把原始报文C(x)左移3 (R)位变成10100003、 用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：1001 商10100001011 除数10001011011 余数(校验位)5、编码后的报文(CRC码)：1010000+ 0111010011CRC的和纠错在接收端收到了 CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无 误。
若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同可以证明，余数与出 错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字(信息位)无关图10给出了 G(x) = 1011, C(x) = 1010的出错模式，改变C(x)(码字)，只会改变表中码字内容，不改变余数 与出错位的对应关系收到的CRC码字余数出错位码位A7A6A5A4A3A2A1正确1010011000无1010010001110100010102错101011110031011011误0114100001111100111105001001111161017图10 (7, 4) CRC码的出错模式(G(x) = 1011)如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数如果对余数补0继 续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环例如第一位出错，余数 将为001,补0后再除(补0后若最高位为1,则用除数做模2减取余；若最高位为0,则其 最低3位就是余数)，得到第二次余数为010以后继续补0作模2除，依次得到余数为100, 011…，反复循环，这就是'循环码”名称的由来这是一个有价值的特点。
如果我们在求出余数不 为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移图10说明，当 出现余数(101)时，出错位也移到A7位置可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A】 这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件当位数增多时，循环码校验 能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因例】对图10的CRC码(G(x) = 1011, C(x) = 1010)，若接收端收到的码字为1010111,用G(x) = 1011做模2除得到一个不为0的余数100,说明传输有错将此余数 继续补0用G(x) = 1011作模2除，同时让码字循环左移1010111做了 4次后，得到余数 为101,这时码字也循环左移4位，变成1111010说明出错位已移到最高位A7，将最高位 1取反后变成0111010再将它循环左移3位，补足7次，出错位回到A3位，就成为一个正 确的码字1010011通信与网络中常用的CRC在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC 码产生r位的校验位它只能检测出错误，而不能纠正错误一般取r=16，标准的16位生成 多项式有 CRC-16 = X16 + X15 + X2+1 和 CRC-CCITT = X16 + X15 + X2+1。
一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小 于等于r的突发错以及(1-2-(r-1))的突发长度为r+1的突发错和(1-2-r)的突发长度大于r+1 的突发错例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及 99. 997%的突发长度为17的突发错和99. 998%的突发长度大于17的突发错所以CRC 码的检错能力还是很强的这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出 错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)例1】某循环冗余码(CRC)的生成多项式G(x)=x3+x2+1,用此生成多项式产生的 冗余位，加在信息位后形成CRC码若发送信息位1111和1100则它的CRC码分别为 _A—和_B—由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的CRC码，例如码 字_C_、_D_、和_E_°(1998 年试题 11) 供选择的答案A：① IIIII00② 1111101③ 1111110④ 1111111B：① 1100100② 1100101③ 1100110④ 1100111C〜E：① 0000000② 0001100③ 0010111⑤ 1000110⑥ 1001111⑦ 1010001⑧ 1011000解：A： G(x) = 1101, C(x) = 1111 C(x)*23FG(x) = 1111000f1101 = 1011 余 111 得到的CRC码为1111111B： G(x) = 1101, C(x) = 1100 C(x)*23FG(x) = 1100000F1101 = 1001 余 101得到的CRC码为1100101C〜E：分别用G(x) = 1101对①〜⑧ 作模2除：①0000000F1101余000②1111101^1101 余001③ 0010111F1101 余000 ④ 0011010F1101 余000 ⑤ 1000110F1101 余000⑥ 1001111^1101 余100 ⑦ 1010001F1101 余000 ⑧ 1011000F1101 余100所以—C_、_D_和—E—的答案是②、⑥、⑧【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC,即_A_码。
在进行编码过程中要使用_B_运算假设使用的生成多项式是G(X)=X4+X3+X+1,原始报文为11001010101,则编码后的报文为_C_CRC码_D_的说法是正确的在无线电通信中常采用它规定码字长为7位•并且其中总有且仅有3个“1”这种码的编码效率为_E_供选择的答案：A：①水平垂直奇偶校验②循环求和③循环冗余④正比率B：①模2除法②定点二进制除法③二一十进制除法④循环移位法C：① 1100101010111 ② 110010101010011③ 110010101011100 ④ 110010101010101D：①可纠正一位差错②可检测所有偶数位错③可检测所有小于校验位长度的突发错④可检测所有小于、等于校验位长度的突发错E：① 3/7 ② 4/7 ③ log23/log27 ④(log235)/7解：从前面有关CRC的论述中可得出：A：③循环冗余B：①模2除法C： G(x)-11011, C(x)-11001010101, C(x)*24mG(x) =110010101010000^11011 余0011得到的CRC码为②110010101010011D：从前面。