八年级数学上册第十五章典型例题讲解第十五章分式【典型例题讲解】拓展天地（1）已知x2－3x＋1＝0，求x2＋12.x【解析】本题应采用技巧计算，将x2－3x＋1＝0两边同除以x移项，可得x＋1＝3，x2而x2＋x12＝x＋1x－2，将x＋1x＝2代入可求值．【解】因为，当x＝0时，x2－3x＋1＝1≠0，所以方程x2－3x＋1＝0中的x≠0，在x2－3x＋1＝0两边都除以x，得x－3＋1＝0，所以x＋1＝3，而x＋1xxx＋12＋2，所以，x2＋12＝x＋12－2＝32－2＝7.xxx211＝x2＋2x·＋2＝x2xx拓展天地（2）413－a3＋a24不改变分式的值，把分式1a2－a＋1中的分子、分母的各项系数化为整数，并使分子与23分母的最高次项的系数均为正数．【解析】本题应根据分式的基本性质，将分子、分母同乘以分子与分母中的分母的最小公倍数，就可以把分子、分母的各项系数化为整数，然后，如果分子与分母的最高次项的系数不是正数，则可将负号提取到分式的前面，提取负号时应注意项的符号的改变．4－13＋a2×12【解】分式中的分子、分母同乘12，得34a＝16－3a3＋12a2116a2－12a＋4，分式本身2a2－a＋3×12及分式分子的符号都变为“－”号－（16－3a3＋12a2）3a3－12a2－16，得原式＝－6a2－12a＋4＝－6a2－12a＋4.拓展天地（3）给定下面一列分式：x3x5x7x9y，－y2，y3，－y4，，其中x≠0.(1)用任意一个分式除以前面与它相邻的分式，你发现了什么规律？(2)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第7个分式．【解析】用任意一个分式除以前面与它相邻的分式，可以发现计算结果都等于－x2y.x5x3x5yx2x7x5x7y2【解】根据题目要求：可求出－y2÷y＝－y2·x3＝－y；y3÷－y2＝y3·－x5＝－x2x9x7x9y3x2y；－y4÷y3＝－y4·x7＝－y；由此可发现规律：任意一个分式除以前面的与它相邻的分式都等于－x2y.(2)按照上面的规律，第7个分式为(－1)7＋1·x2×7＋1＝x15y77.y拓展天地（4）22324ab＋4ab＋b2＋1，其中a＝－1，b＝1.化简求值：(8a2－2b2)÷22·2ab2b－5ab－3ab－5ab＋6a24【解析】先要进行因式分解、约分、化简后再代入求值．（2b＋a）（b－3a）ab2【解】原式＝2(2a＋b)(2a－b)·b（2a＋b）2·（b－3a）（b－2a）＋1＝－ab（2b＋a）2·＋1.2a＋b当a＝－1，b＝1时，原式＝－241111－2×4×2×4－22×－2×－1＋1＋1＝1.24拓展天地（5）(1)观察下列各式：1＝1＝1－1；1＝1＝1－1；1＝1＝1－1；由此可推导出1＝________；62×323123×434204×54542(2)请猜想出能表示(1)的特点的一般规律，用字母m的等式表示出来，并说明理由(m表示不为0和－1的整数)；(3)请直接用(2)的规律计算：1＋1＋（x－3）（x－4）（x－2）（x－3）12）.（x－1）（x－【解析】通过观察，可以发现：等式左边的分母都可以写成相邻两个整数的乘积，左边都可以写成分别以这两个整数为分母的两个分式的差．【解】(1)1－167(2)规律：1＝1－1.理由：∵m（m＋1）mm＋1(1) 的特点，∴猜想的等式成立．1－1＋1－1＋(3)原式＝x－4x－3x－3x－2拓展天地（6）1－ 1＝m＋1－m＝1且符合m m＋1 m（m＋1）m（m＋1）1－1＝1－1＝3x－2x－1x－4x－1x2－5x＋4.在解题目：“当x＝2012时，求代数式x2－4x＋4÷x2－2x－1＋1的值”时，聪聪认为xx2－4x＋2x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果，你认为他说的有道理吗？请说明理由．【解析】应先将代数式进行化简，便可知其结果均为1.x2－4x＋4x2－2x1（x－2）2x＋2111【解】x2－4÷x＋2－x＋1＝（x＋2）（x－2）·x（x－2）－x＋1＝x－x＋1＝1.通过化简结果可知，无论x取任何一个使原式有意义的值，原式的结果都等于1，所以聪聪说的有道理．拓展天地（7）我们都知道纳米(nm)是一种长度单位，1nm＝10－9m，已知某种植物的花粉的直径为35000nm，小李为研究这些花粉，自做了一棱长为2cm的正方体小盒子收集花粉，请问小李一次能收集多少粒花粉？【解析】先计算棱长为2cm的正方体盒子的体积，再求一粒花粉的体积，二者相除，就可以求出花粉的个数，计算时要注意单位的换算与统一．【解】由题意可知，正方体小盒子的体积为V＝a3＝23＝8(cm3)，又因为花粉的直径为35000nm，所以半径为35000÷2＝17500(nm).17500×10－9×102＝1.75×10－3(cm)，我们假想花粉颗粒为球形状，则花粉粒的体积为V≈4－33－83)，所以3×3.14×(1.75×10)≈2.24×10(cm收集花粉的个数为8≈3.57×108(粒)．－2.24×108答：小李一次能收集约3.57×108粒花粉．拓展天地（8）阅读下列材料：方程1－1＝1－1的解为x＝1；方程1－1＝1－1的解为x＝2；方程x＋1xx－2x－3xx－1x－3x－41－1＝1－1的解为x＝3x－1x－2x－4x－5(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x＝－5的分式方程．【解析】从等式中可以观察出等式左、右两边的分母，都是二个连续的整数，其解与等式的分母有一定联系．【解】(1)1－1＝1－1的解为x＝n＋2.x－nx－（n＋1）x－（n＋3）x－（n＋4）(2)由n＋2＝－5，得n＝－7，所以所求分式方程为：1－1＝x－（－6）x－（－7）1－11－1＝1－1x－（－4）x－（－3），即x＋7x＋6x＋4x＋3.拓展天地（9）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000m的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20m，且甲工程队铺设350m所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天能铺设多少m?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以100m为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来．【解析】在(2)问中，应通过列不等式组加以讨论，并注意分配工程量以100m为单位这个条件．【解】(1)设甲工程队每天能铺设xm，则乙工程队每天能铺设(x－20)m，根据题意，得350＝250xx－20.解得x＝70，经检验，x＝70是原分式方程的解，当x＝70时，x－20＝50.答：甲、乙工程队每天分别铺设70m和50m.y≤10，70(2)设分配给甲工程队ym，则分配给乙工程队(1000－y)m，由题意得解1000－y≤10.。