第二章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(08·湖北文)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11[答案] C[解析] ∵a＋2b＝(－5,6)，c＝(3,2)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A．λ>1 B．λ<1C．λ<－1 D．λ<－1或－1<λ<1[答案] D[解析] 由条件知，a·b＝λ－1<0，∴λ<1，当a与b反向时，假设存在负数k，使b＝ka，∴，∴.∴λ<1且λ≠－1.3．在四边形ABCD中，若·＝－||·||，且·＝||·||，则该四边形一定是( )A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形[答案] A[解析] 由·＝－||·||可知与的夹角为180°，∴AB∥CD.又由·＝||·||知与的夹角为0°，∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．4．如果两个非零向量a和b满足等式|a|＋|b|＝|a＋b|，则a，b应满足( )A．a·b＝0 B．a·b＝|a|·|b|C．a·b＝－|a|·|b| D．a∥b[答案] B[解析] 由|a|＋|b|＝|a＋b|知，a与b同向，故夹角为0°，∴a·b＝|a|·|b|cos0°＝|a|·|b|.5．(08·湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直[答案] A[解析] ＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋＝＋＝－，故选A.6．在▱ABCD中，已知＝(－4,2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝( )A．5 B．2C．2 D.[答案] D[解析] 设＝a，＝b，则a＋b＝＝(－4,2)，b－a＝＝(2，－6)，∴b＝(－1，－2)，a＝(－3,4)，∴2＋＝2a＋b＝(－7,6)，∴|2＋|＝＝.7．如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E、F分别为AB、CD的中点，则( )A.＝(a＋b＋c＋d)B.＝(a－b＋c－d)C.＝(c＋d－a－b)D.＝(a＋b－c－d)[答案] C[解析] ∵＝－＝(＋)－(＋)＝(c＋d)－(a＋b)，∴＝(c＋d－a－b)．8．在矩形ABCD中，＝，＝，设＝(a,0)，＝(0，b)，当⊥时，求得的值为( )A．3 B．2 C. D.[答案] D[解析] 如图，∵＝＋＝＋＝＋＝.又∵＝＋＝－＋＝(0，－b)＋＝，∵⊥，∴－＝0，∴＝.9．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上求一点P，使·取最小值，则P点的坐标是( )A．(3,0) B．(－3,0)C．(2,0) D．(4,0)[答案] A[解析] 设P(x0,0)，且＝(x0－2，－2)，＝(x0－4，－1)，∴·＝(x0－2)(x0－4)＋2＝x－6x0＋10＝(x0－3)2＋1，∴x0＝3时，·取最小值．10．(08·浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2C. D.[答案] C[解析] 由(a－c)(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.11．(09·辽宁文)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )A. B．2C．4 D．12[答案] B[解析] ∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×2×1×cos60°＝12，∴|a＋2b|＝2，∴选B.12．设e1与e2为两不共线向量，＝2e1－3e2，＝－5e1＋4e2，＝e1＋2e2，则( )A．A、B、D三点共线B．A、C、D三点共线C．B、C、D三点共线D．A、B、C三点共线[答案] A[解析] ∵＝＋＝－4e1＋6e2＝－2(2e1－3e2)＝－2，∴∥，∵与有公共点B，∴A、B、D三点共线．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．与向量a＝(－5,12)共线的单位向量为________．[答案] 和[解析] ∵|a|＝13，∴与a共线的单位向量为±＝±.14．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是边BC的中点，则·＝________.[答案] [解析] 由已知得＝(＋)，＝－，∴·＝(·)·(－)＝(||2－||2)＝(9－4)＝.15．已知a＋b＝2e1－8e2，a－b＝－8e1＋16e2，其中|e1|＝|e2|＝1，e1⊥e2，则a·b＝________.[答案] －63[解析] 解方程组得，，∴a·b＝(－3e1＋4e2)·(5e1－12e2)＝－15|e1|2＋56e1·e2－48|e2|2＝－63.16．已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A、B、C共线，则实数k＝________.[答案] －[解析] ＝－＝(1－k,2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，∵A、B、C三点共线，∴∥，∴(1－k)·(－3)－(2k－2)·(1－2k)＝0，∴k＝1或－.∵A、B、C是不同三点，∴k≠1，∴k＝－.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知a＝(1,1)，且a与a＋2b的方向相同，求a·b的取值范围．[解析] ∵a与a＋2b方向相同，且a≠0，∴存在正数λ，使a＋2b＝λa，∴b＝(λ－1)a.∴a·b＝a·＝(λ－1)|a|2＝λ－1>－1.即a·b的取值范围是(－1，＋∞)．18．(本题满分12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，(1)ka＋b与a－3b垂直？(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解析] (1)ka＋b＝k×(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3×(－3,2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由10(k－3)＋(2k＋2)(－4)＝0，解得k＝19.即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，解得.即当k＝－时，两向量平行．∵λ＝－，∴－a＋b与a－3b反向．19．(本题满分12分)已知a＝3i－4j，a＋b＝4i－3j，(1)求向量a、b的夹角的余弦值；(2)对非零向量p，q，如果存在不为零的常数α，β使αp＋βq＝0，那么称向量p，q是线性相关的，否则称向量p，q是线性无关的．向量a，b是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b＝(a＋b)－a＝i＋j，设a与b夹角为θ，根据两向量夹角公式：cosθ＝＝＝－.(2)设存在不为零的常数α，β使得αa＋βb＝0，那么⇒，所以不存在非零常数α，β，使得αa＋βb＝0成立．故a和b线性无关．20．(本题满分12分)已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F.求证：DP⊥EF.[证明] 以A为原点，AB、AD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设正方形边长为1，则＝(1,0)，＝(0,1)．由已知，可设＝(a，a)，并可得＝(1－a,0)，＝(0，a)，＝(1－a，a)，＝－＝(a，a－1)，∵·＝(1－a，a)·(a，a－1)＝(1－a)a＋a(a－1)＝0.∴⊥，因此DP⊥EF.21．(本题满分12分)设直线l：mx＋y＋2＝0与线段AB有公共点P，其中A(－2,3)，B(3,2)，试用向量的方法求实数m的取值范围．[解析] (1)P与A重合时，m×(－2)＋3＋2＝0，∴m＝.P与B重合时，3m＋2＋2＝0，∴m＝－.(2)P与A、B不重合时，设＝λ，则λ>0.设P(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(3－x,2－y)．∴，∴，把x，y代入mx＋y＋2＝0可解得λ＝，又∵λ>0，∴>0.∴m<－或m>.由(1)(2)知，所求实数m的取值范围是－∞，－∪.22．(本题满分14分)已知a，b是两个非零向量，夹角为θ，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．(1)求t的值；(2)求b与a＋tb的夹角．[解析] (1)|a＋tb|2＝a2＋2ta·b＋t2b2＝|b|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|a|2.∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值．(2)当t＝－时，b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝|a|·|b|cosθ－·|b|2＝0.∴b⊥(a＋tb)，即b与a＋tb的夹角为90°.。