第一章原子的基本状况1.1若卢瑟福散射用的a粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68x106电子伏 特散射物质是原子序数Z = 79的金箔试问散射角所对应的瞄准距离b多大?解：根据卢瑟福散射公式：ctg J = 4 兀8 "v_b = 4 兀8 爪 a b2 0 2 Ze 2 0 Ze 2得到：i Ze 2ctg a 79 x (1.60 x 1019 )2ctg 150b = — = — = 3.97 x 10-15 米4兀80K (4兀 x 8.85 x 10-12) x (7.68 x 106 x 10-19) 不 式中Ka = 2Mv2是a粒子的功能1.2已知散射角为的a粒子与散射核的最短距离为(1 ) 2 Ze 24 兀8 Mv 2(1 +-^)sin Q-2，试问上题a粒子与散射的金原子核之间的最短距离rm多大?解：将1.1题中各量代入rm的表达式，得：rmin(1 ) 2 Ze 24 兀8 0 Mv 2(1 + —) sin Q-2sin 75)4 x 79 x (1.60 x 10 -19)2 =9 x 109 x x (1 +7.68 x 106 x 1.60 x 10-19=3.02 x 10 -14 米1.3若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔问质子与金箔原子核可 能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个+e电荷而质量是质子的 两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180当入射粒子的动能全部转化为两 粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小根据上面的分析可得：Ze 2Ze 2=9 x 10 979 x (1.60x 10 -19 )210 6 x 1.60 x 10 -19，故有：r .min=1.14x 10 -13 米由上式看出：扁与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为1.14 X10-13米1.4针放射的一种a粒子的速度为1.597X 107米/秒，正面垂直入射于厚度为10-7米、密度为1.932x 104公斤/米3的金箔试求所有散射在的a粒子占全部入射粒子数的百分比已知金的原子量为197解：散射角在° 0+ dO之间的a粒子数dn与入射到箔上的总粒子数n的比是:Ntd °dn其中单位体积中的金原子数：N = p / m^ = p N0 / AAu 而散射角大于90。
的粒子数为：dn' = j dn = nNt j： d所以有： np N 0AAu-t •( —)2 兀(2 Zg 2 )24 赤 Mu 20j 18090 1Ocos —七d O3 一2sinO , . Ocos 一 d sin —等式右边的积分：I=j算 2 d O = 2 j 180 ,-2 = 10 90 • Osin 3 sin 3 一2 2-=PN^ - t - (^L)2 兀(¥^)2A 4 赤 Mu 2幻 8.5 x 10 -6 = 8.5 x 10 -4 ^/即速度为1.597 x 107米/秒的a粒子在金箔上散射，散射角大于90以上的粒子数大约是&5 X10 -4K1.5 a粒子散射实验的数据在散射角很小（＜ 15时与理论值差得较远，时什么原因？答：a粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的而a粒子通过金属箔，经过 好多原子核的附近，实际上经过多次散射至于实际观察到较小的O角，那是多次小角散射 合成的结果既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用所以，a粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远1.6已知a粒子质量比电子质量大7300倍试利用中性粒子碰撞来证明:a粒子散射“受 电子的影响是微不足道的”。
证明：设碰撞前、后a粒子与电子的速度分别为：v,”,0, v根据动量守恒定律，得:Mv = Mv ' + mv '由此得:17300-(1)又根据能量守恒定律，得：1 Mv 2 = 1 Mv ' 2 + 1 mv 22 a 2 a 2 ev 2 = v ' 2 + v ' 2 (2)将（1）式代入（2）式，得:+ 7300 (va -对)2整理，得:v 2(7300 - 1) + v' 2 (7300 + 1) - 2 x 7300 v v、cos 9 = 0a a a a7300 > 1上式可写为：7300（ va二 va - v = 0即a粒子散射“受电子的影响是微不足道的”1.7能量为3.5兆电子伏特的细a粒子束射到单位面积上质量为1.05 x 10-2公斤/米2的银箔上，a粒子与银箔表面成600角在离L=0.12米处放一窗口面积为6.0x10-5米2的计数器测得散射进此窗口的a粒子是全部入射」粒子的百万分之29若已知银的原子量为 107.9试求银的核电荷数Z解：设靶厚度为广非垂直入射时引起a粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度广，而是t = t，/sin60如图1-1所示。
因为散射到9与9 + d0之间dQ立体角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为:dnd (_^)2(_^L)4 双 Mv 20d Q2-T9~sin 4 ——2（2）把（2）式代入（1）式，得:(3)主=Nt(1)2 (M)2 旦 n 4双 Mv 2 . 00 sin4 —2式中立体角元dQ = ds/L2,t =广/sin600 = 2广 / 3 200N为原子密度N为单位面上的原子数，冲=n/m =n（A /N0）-1，其中门是单位N 0是阿佛加德罗常数面积式上的质量；膈是银原子的质量；七是银原子的原子量;将各量代入（3）式，得：dn = 2 门 N 0 ( 1 )2( ze 2 )2 d Qn 、. ' 3 A 4 双 Mv 2 . , 0Ag 0 sin 4 —2由此，得：Z=471.8设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为10 -10米的球形原子内，如果有能量为106电子伏特的a粒子射向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的a粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于90这个 结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影 响可以忽略）。
解：设a粒子和铅原子对心碰撞，则a粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有 下式决定：2Mv2 = 2Ze2 /4双 0R = 3.78 x 10-16焦耳总 2.36x 103电子伏特由此可见，具有106电子伏特能量的a粒子能够很容易的穿过铅原子球a粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：F = 2 Ze 2/4赤R 2和F = 2 Ze 2 r/4赤R 3可见，原子表面处a粒子所受的斥力最大，越 0 0靠近原子的中心以粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使a粒子发生散射最强的垂 直入射方向的分力越小我们考虑粒子散射最强的情形设a粒子擦原子表面而过此时受力为F = 2Z2/4双R2可以认为a粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作 0用，即作用距离为原子的直径D并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直， 大小不变这是一种受力最大的情形根据上述分析，力的作用时间为t=D/v, a粒子的动能为1 Mv2 = K，因此，v =＜：2K /M，所以，t = D/ v = D、；M /2K根据动量定理：v Fdt = p［一 p0 = Mv［一 0而\fFdt = 2Ze2/4K8 R2[dt = 2Ze2t/4双 R2 0 0 0 0所以有：2Ze21/4双 0R2 = Mv^由此可得：v = 2Ze21/4兀& R2Ma粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0,入射方向上速度不变。
据此，有：tgQ =、= 2Ze21/4双 R2Mv = 2Ze2D/4双 R2Mv2v 0 0=2.4 x 10-3这时很小，因此tg6«6= 2.4 x 10 -3弧度，大约是8.2，这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的a粒子被铅原子散射，不可能产生散射角6 > 900的散射但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当a粒子无限靠近原子核时，会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生6 > 900的散射，甚至会产生6 " 1800的散 射，这与实验相符合因此，原子的汤姆逊模型是不成立的2.1解：动量为:能量为:第二章量子力学初步波长为1A的x光光子的动量和能量各为多少?根据德布罗意关系式，得：h 6.63 x 10 -34p = 一 = = 6.63 x 10 -24 千克•米•秒-1X 10-10E = hv = hc / 人=6.63 x 10-34 x 3 x 108 /10-10 = 1.986 x 10-15 焦耳经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长人=?用上述电压加速的质2.2子束的德布罗意波长是多少？解:德布罗意波长与加速电压之间有如下关系:X = h/ <2meV 对于电子：m = 9.11 x 10-31 公斤，e = 1.60x 10-19库仑把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得:牛三 A = a A = 0.1225 A、.V ,100006.626 x 10-34对于质子，m = 1.67 x 10-27公斤，e = 1.60x 10-19库仑，代入波长的表示式，得:人= =2.862 x 10-3 Av'2 x 1.67 x 10-27 x 1.60 x 10-19 x 1000012.25 q2.3电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。
因而原来入= V A的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为:1225 °人= _ (1 — 0.489 x 10-6V) A ■v'V其中V是以伏特为单位的电子加速电压试证明之证明：德布罗意波长：人=h/ p对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K与其动量p之间有如下关系:K 2 + 2 Km c 2 = p 2 c 2而被电压V加速的电子的动能为：K = eV(eV )2 仁 “ p2 = + 2m eVp = \，2m eV + (eV)2 /c2因此有:x=" / p=^mevV 0 1 + 、:2m c 2■ 0一般情况下，等式右边根式中eV/2m c2 一项的值都是很小的所以，可以将上式的 0根式作泰勒展开只取前两项，得：人=." (1 —) = " (1 - 0.489 x 10-6 V).寸2m eV 4m0c2 .寸2m eV,t 7 。