预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？ (3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？ 1．数列的前n项和对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝Sn＝na1＋d1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项所有项的和( )(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式( )(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1( )解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.答案：(1)√ (2)× (3)×2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )A．n B．n(n＋1)C．n(n－1) D.解析：选D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝，故选D.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于( )A．16 B．24C．36 D．48解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{an}中，S4＝2，S8＝6，则S12＝________.解析：由等差数列的性质，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，S12＝3(S8－S4)＝12.答案：12等差数列的前n项和的有关计算[典例] 已知等差数列{an}．(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解] (1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.又Sn＝na1＋d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． [活学活用]设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于( )A．13 B．35C．49 D．63解析：选D ∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝＝＝63.已知Sn求问题[典例] 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列？[解] (1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．(2)在书写{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝表示． [活学活用]1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则( )A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1解析：选B 当n＝1时，a1＝S1＝－1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋(n－1)2＝－2n＋1，此时满足a1＝－1.综上可知an＝－2n＋1.2．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.(1)Sn＝2n2＋3n＋2；(2)Sn＝3n－1.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，所以an＝(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式，所以an＝2×3n－1(n∈N*).等差数列的前n项和性质[典例] (1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为( )A．130 B．170C．210 D．260(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.(2)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.(3)由等差数列的性质，知＝＝＝＝＝.[答案] (1)C (2)10 (3)等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. [活学活用]1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝( )A．18 B．17C．16 D．15解析：选A 设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75.答案：75等差数列的前n项和最值问题[典例] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．[解] 由S17＝S9，得25×17＋d＝25×9＋d，解得d＝－2，[法一 公式法]Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.[法二 邻项变号法]∵a1＝25＞0，由得即12≤n≤13.又n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略(1)将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取最大值．当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取最小值． [活学活用]已知{an}为等差数列，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝( )A．11 B．17C．19 D．21解析：选C ∵Sn有最大值，∴d<0，则a10>a11，又<－1，∴a11<00，∴S19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于( )A．－n2＋ B．－n2－C.n2＋ D.n2－解析：选A ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝＝－n2＋.2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是( )A．S70 D．S15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S13＝＝13a7>0，S15＝＝15a8<0，故选C.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )A．63 B．45C．36 D．27解析：选B ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )A．1 B．－1C．2 D.解析：选A ＝＝＝＝×＝1.6．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.答案：2A7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2。
