3．2．3 直线与平面的夹角精典练习1．若斜线段AB是它在平面a 内的射影长的2倍，则AB与a 所成的角为( )A．60° B．45° C．30° D．120°2．矩形ABCD中，AB＝1，，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是( )A．30° B．45° C．60° D．90°3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值等于( )A． B． C． D．4．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为( )A． B． C． D．(二)填空题5．直角三角形ABC的斜边AB在平面a 内，AC和BC与a 所成的角分别为30°，45°，CD是AB边上的高，CD与a 所成的角为______．*6．自平面a 外一点P，向平面a 引垂线段PO及两条斜线段PA、PB．它们在平面a 内的射影长分别为2cm 和12cm ，且这两条斜线与平面a 所成的角相差45°，则垂线段PO的长为______．7．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是______．8．如图所示，∠BOC在平面a 内，OA是平面a 的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，则OA与平面a 所成的角是______．9．如图所示，三棱锥P－ABC中侧面PAC与底面ABC垂直．PA＝AC＝PC＝3．AB＝BC，则AC与平面PBC所成角的余弦值为________.(三)解答题10．四面体S－ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，(1)求BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．11．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点，求CM与平面CDE所成的角．*12．四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SO⊥底面ABCD，O在CB上．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝，SA＝SB，求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．参考答案3．2．3 直线与平面的夹角1．A 2．A 3．C 4．C提示：如图，∠CPA＝∠CPB，所以PC在面APB内的射影PH是∠APB的平分线，所以＝ 5．60°；6．6cm或4cm 提示：注意两个角的顺序，分类讨论．7． 8．45°；9．．10．(1)60°；(2)．11．解：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C－xyz，设EA＝a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0)．设向量与平面CDE垂直，则，即．因为＝(2a，0，a)，＝(0，2a，2a)，所以y0＝2，z0＝－2，即＝(1，2，－2)，．∵直线CM与平面CDE所成的角q 是与夹角的余角，所以q ＝45°，因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．12．解：连结AO．因为SA＝SB，所以AO＝BO．又∠ABC＝45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系O－xyz，A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，－，0)，D(，－2，0)，S(0，0，1)．所以设平面SAB的法向量为所以，令y＝1得所以．由题知直线SD与平面SAB所成角与互余，所以，直线SD与平面所成角的正弦值为．。