细心整理线性规划讲义 【考纲说明】 〔1〕了解线性规划的意义、了解可行域的意义；〔2〕驾驭简洁的二元线性规划问题的解法．〔3〕稳固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；〔4〕会用画网格的方法求解整数线性规划问题．〔5〕造就学生的数学应用意识和解决问题的实力． 【学问梳理】简洁的线性规划问题一、学问点1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简洁线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难学问导析线性规划是一门探究如何运用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学探究、工业设计、经济管理中实际问题的特地学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源必需的条件下，如何运用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理支配和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，假设适合，那么该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否那么，直线的另一侧为所求的平面区域．假设 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ时，直线必需经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简洁线性规划问题就是求线性目标函数性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：〔1〕找寻线性约束条件，线性目标函数；〔2〕由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；〔3〕在可行域内求目标函数的最优解.积储学问：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，那么点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方〔左上或右上〕，那么当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方〔左下或右下〕，当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0留意：〔1〕在直线Ax+By+C=0同一侧的全部点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都一样, 〔2〕在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，那么有〔Ax1+By1+C〕( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，那么有〔Ax1+By1+C〕( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0〔或<0〕在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成的平面区域. 不包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0〔或≤0〕在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成的平面区域且包括边界;留意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判定二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特别点检验; “直线定界、特别点定域缘由:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的全部点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都一样,所以只需在此直线的某一侧取一个特别点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判定Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特别地, 当C≠0时，常把原点作为特别点，当C=0时，可用〔0，1〕或〔1，0〕当特别点，假设点坐标代入适合不等式那么此点所在的区域为需画的区域，否那么是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律： 1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方〔左上或右上〕，当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方〔左下或右下〕;2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方〔左下或右下〕当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方〔左上或右上〕四、线性规划的有关概念：①线性约束条件： ②线性目标函数：③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解：【经典例题】一．建构数学1．问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图〔1〕所示．其次，将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图〔2〕所示．因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元．这类求线性目标函数性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简洁线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域〔即直线与可行域有公共点〕．二．数学运用例1．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组那么表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大．由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，，．例2．设，式中满足条件，求的最大值和最小值．解：由引例可知：直线与所在直线平行，那么由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有多数多个，当经过点时，对应最小，∴，．例3．确定满足不等式组，求使取最大值的整数．解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部〔不含边界〕，设与，与，与交点分别为，那么坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ∴；当时，得或， ∴或；当时，， ∴，故的最大整数解为或．例4．投资生产A产品时，每生产100吨须要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米须要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可运用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以便利理解题意：资 金〔百万元〕场 地〔平方米〕利 润〔百万元〕A产品223B产品312限 制149然后依据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最终用图解法求解解：设生产A产品百吨，生产B产品米，利润为百万元，那么约束条件为，目标函数为．作出可行域〔如图〕，将目标函数变形为，它表示斜率为，在轴上截距为的直线，平移直线，当它经过直线与和的交点时，最大，也即最大．此时，．因此，生产A产品百吨，生产B产品米，利润最大为1475万元．说明：〔1〕解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件〔要留意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一〕；③建立目标函数；④求最优解．一、 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点．三、画区域1. 用不等式表示以，，为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的随意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
解：直线的斜率为：，其方程为．可求得直线的方程为．直线的方程为．的内部在不等式所表示平面区域内，同时在不等式所表示的平面区域内，同时又在不等式所表示的平面区域内〔如图〕．所以确定三角形内部的平面区域可由不等式组表示．说明：用不等式组可以用来平面内的必需区域，留意三角形区域内部不包括边界限．2 画出表示的区域，并求全部的正整数解．解：原不等式等价于而求正整数解那么意味着，还有限制条件，即求．依照二元一次不等式表示的平面区域，知表示的区域如下列图：对于的正整数解，简洁求得，在其区域内的整数解为、、、、．3设，，；，，，用图表示出点的范围．分析：题目中的，与，，是线性关系．可借助于，，的范围确定的范围．解：由得由，，得画出不等式组所示平面区域如下图．说明：题目的条件隐藏，应考虑到已有的，，的取值范围．借助于三元一次方程组分别求出，，，从而求出，所满足的不等式组找出的范围．4、确定x,y,a,b满足条件：,2x+y+a=6,x+2y+b=6〔1〕试画出〔〕的存在的范围； 〔2〕求的最大值 四、画区域，求面积例3 求不等式组所表示的平面区域的面积．分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判定其形态进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进展化简和变形，如何变形？需对确定值加以探讨．解：不等式可化为或；不等式可化为或．在平面直角坐标系内作出四条射线：， ，那么不等式组所表示的平面区域如图，由于与、与相互垂直，所以平面区域是一个矩形．0ABC〔图1〕依据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和．所以其面积为．五、求最值一、与直线的截距有关的最值问题 1.如图1所示，确定中的三顶点，点在内部及边界运动，请你探究并探讨以下问题：①在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC处有最小值 1 ；②在 点C 处有最大值 1 ，在 点B 处有最小值0ABC〔 图2 〕0ABC2假设、满足条件求的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如下图．作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点A时，取得最大值，当过点时，取得最小值．∴ ∴ 注：可化为表示与直线平行的一组平行线，其中为截距，特别留意：斜率范围及截距符号。
即留意平移直线的倾斜度和平移方向变式：设x,y满足约束条件分别求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值二、与直线的斜率有关的最值问题 表示定点P〔x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.例2 设实数满足，那么的最大值是_。