第五章相似原理与量纲分析对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等第一节流动相似原型：天然水流和实际建筑物称为原型模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的模型和原型保证流动相似，应满足:几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件相似1.几何相似几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等长度比尺:（5-1）面积比尺:（5-2）体积比尺:（5-3）2.运动相似运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同且大小各具有同一比值。
5-4）速度比尺:_ 啊 _ ; -2 _ 5 ; -13. 动力相似动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相 等J _ U J -2 _ J J-y -矛砖-七&古-力的比尺：" （5-6）4. 初始条件和边界条件的相似初始条件：适用于非恒定流边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等流动相似的含义:几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件 相似第二节动力相似准则动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果因此，各种作用力之间的比例 关系应以惯性力为一方来相互比较判断：惯性力是所有外力的矢量和你的回答：错惯性力I = ma =灯F .丰=々「厂'=庆根据动力相似有入广七 即(5-7)若称-^= Ne杪 牛顿数(5-8)所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。
完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足想一想：牛顿相似准则说明了完全的动力相似1. 雷诺（粘滞力）准则n 惯性力 ma 成st vlU |Ci — — |^c" ■ — —粘滞力—心任一 V（5-9）p ¥式中：L——为流场中的特征线性长度 Re——雷诺数当粘滞力起主要作用时，动力相似有：弭=跖或孕=1右 （5-10）适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主 要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面 产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等算一算：如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模 型中流速为50m/s，则原型中的流速为2^5m/so问题：进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D.其他准则 问题： 雷诺数的物理意义表示：A.粘滞力与重力之比； B.重力与惯性力之比；C.惯性力与粘滞力之比: D.压力与粘滞力之比。
问题：压力输水管模型实验，长度比尺为8,模型水管的流量应为原型输水管流量的：A.1/2； B.1/4； C.1/8； D.1 / 16o2. 弗汝德（重力）准则(5-11)殆一雀广一般取(5-12)明.=%或—=1当重力起主要作用时，动力相似有： 曰上 （5-13）适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动）， 如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动 等问题：进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是： A.雷诺准则； B.弗劳德准则; C.欧拉准则； D.其它准则问题： 明渠水流模型实验，长度比尺为4,模型流量应为原型流量的：A.1/2； B.1/4； C.1/8； D. 1 / 32问题：长度比尺入*0的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型 中需要的功率 N 为：A.2.17kW； B.32.4kW； C.17.8kW： D.13.8kWp问题： 设模型比尺为1:100,符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s?A.0.01；B.108； C.10； D.10000。
重力相似与粘滞力相似比较雷诺（粘滞力）准则佛妆德（重力）准则Re. = L JF" Fr2七—蛉} JJ %亳7 _ "l _ m J 1/2 A — _ 九£ %r 1 g若九二L则若 \ = I KiJ扁Js= Ml=久:? _ ? ? -1 _ ? 1/2 = 土 = y% -若知=L则A = 1若郊=1,则七=&己3. 欧拉准则流体流动以动水总压力为主要作用力的情况:(5-14)当压力起主要作用时，动力相似有：%，二码或孳二1问题1:进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：A.雷诺准则： B.弗劳德准则；C.欧拉准则问题2：判断：当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足对 一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗汝德数相等，欧拉数也相等只有出 现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似4. 韦伯准则表面张力为主导作用力时的相似准则：能_惯性力._ "以_吁 阵-表面弟力(5-16）当表面张力起主要作用时，动力相似有：阻=电或° "」=1（5-17）想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。
韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似 准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似5.马赫数弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）：柯西数- 憬性力 阿停 V2Ca = =「甘咛=十（5-18）Ma=lMa>l潮生方 K为 反——运动速度为声速—运动速度为亚音速——运动速度为超音速式中： 代一一流体声速K——弹性模量当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等，动力相似有:(5-20)6.斯特哈罗数（时间准则）—^Ci斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度 ，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则 错E _时斐惯性方_ "岫_ L _ V~ —性方"一近一/ 办 （5-21）f——振动频率对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有：（5-22）例1 有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10原型中油的运动粘度v「0.13cm2/s ），问水的模型流量应 为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输油管两端的压差应为 多少（用油柱高表示）？解（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等由于d=d ，故上式可写成p m21=寿以或将已知条件vp= 0.13cm2/s ， vm= 0.0131cm2/s代入上式，得即当模型中流量Q为0.0181m3/s时，原型与模型相似。
m（2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足已知则原型输油管的压强差为电-格 Pp 谣 ♦瓯_晶1 说区PS$ PSa. Mu -『奇 流 &也可以写成这里，引入了 ％=% （dp=dm ）及gp=gm 所以，5m长输油管的压差油柱为 屈=袈 =°°"1^4^ = 2史也长度比^l=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N求（1）原型中的波浪阻力；（2 ）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？解由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等即gnA 由于由于gp=gm，故上式可写成 所以TT 弓=元虬=5七腥2 = 25瓦* 二为"临=50" xl =7.1m/sI " hlN广哗=2500 x7.1厂善二为二如 =17800N-m/s =17.8kW例3 :设有油罐，直径d为4m，油温t为20°C，已知油的运动粘度vp=o.74cm2/s，长度比七采 用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？ （2）模型流体的选定？ （3）各项比例的计算解（1）油自油管流出自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。
因此，重力和粘性力都是重要作用力所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数2）* = ^ = -S^i = 0.0925cm2/S A v Ci由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体现在选用20°C的59%的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20C的温度于是 模型液体的运动粘度应为v「0.0892cm2/s，而不再是0.0925cm2/s 了3) 模型流体选好后，由于所选择的▼“不再等于0.0925cm2/s，所以对长度比入「应进行修正处-心 -{-0.0892} -%'即长度比入「应为4.1，而不是4因此模型油罐的直径为火=¥=着=爵而流速比入〃按弗劳德准则求得(按雷诺准则也能得到同样结果)；1 1九* 二4.护二 2.025从而知道模型油管内的流速大致为原型中的一半时间比入按雷诺准则求得加速度比入a想一想：马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？马赫数为弹性力为主导作用力时的相似准数，表征惯 性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似斯特哈罗数是在非恒定流体流动中，因当地加速度不为 零。