1 .级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：Sn limUk存在，称级数收敛nk 12若任意项级数 Un收敛,n 1Un|发散，则称 Un条件收敛，若n 1Un n 1收敛，则称级数 Unn 1绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛2 .任何级数收敛白^必要条件是lim Un 0 n3若有两个级数 Un和n 1Vn , unn 1 n 1s, Vnn 1则①(Un Vn)n 1S ， Unn 1Vn S n 1D Un收敛,n 1Vn发散，则n 1（Un Vn）发散③若二者都发散，则 （Un Vn）不确定，如 1,n 1 k 11发散，而1 1 0收敛k 14.三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数:a)等比级数:narn 0六，收敛Jr发散，rb)P级数:1 收敛，p 1n 1 np 发散，p 1c)对数级数:1 收敛，p 1n 2 nlnp n 发散，p 1(anan 1)收敛lim an存在（n 1n5.三个重要结论①D正项（不变号）级数 an收 a2收,a2和bi2都收敛anbn收，・an或回收nn反之不成立，③6 .常用收敛快慢正整数 ln n n (0) an(a 1) n! nn由慢到快连续型Inx x (0) ax(a 1)xx由慢到快7 .正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法un 1 lim -n u un1,收1,发（实际上导致了 lim n 0） n1,单独讨论（当n为连乘时）2.柯西根值法lim n1,收1,发（当n为某n次方时）1,单独讨论3.比阶法①代数式unVnvn收敛n 1un收敛，un发散n 1 n 1vn发散limnunVnA,其中:un和 Vn都是正项级数。
n 11 , n 1Tn——n 2 , n n 1un1n1n2 2 ~ —— 一.n n 1 2n21豉 n—^dx n 1 0 1 x21 人 n—^dx 0 1 x21 . -13 ，也可选用基准级数n21 一.一e就可知原级n 1 2n28、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧••布尼茨判交错级数（任意项级数的特例）这是一个必要条件，如果①不满足，则 （1）nun n 0是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性①眄un 0②un un1(1)nun 收敛n 0必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还・任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散・任意项级数判敛的两个重要技巧:a微分积分法换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质b k阶无穷小试探法在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法,9.哥级数 an（x &）n1 .阿贝尔（Abel）定理如果级数anxn当x x0 x0 0,因为x0=0anx2 0显然收敛 点收敛，则级数在圆n 0n 1域x x°|内绝对收敛；如果级数anxn当x xi点发散，则级数在圆域x |xi|外发散由阿n 0贝尔（Abel）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幕级 数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。
注意，除 x x0外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好事级数的关键如推论：如果 anxn不是仅在x 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确 n 0定的正数R存在，使得：10.幕级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知 an(x x0)n , n 0limnan 1anlim Van ； n 1则根据比值判敛法有:limnan 1anx0x01收敛R= limnan收敛・收敛半径R :・收敛区间％R,x0an+1limnanan 1全平面收敛，只有一个收敛点:级数在=00,x0R, % R收敛;幕级数的收敛区间是非空点集，对nan（x x°）n至少在x x0处收敛,anxn至少在x 0处收敛由阿贝尔定理可以推出：幕级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点•收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R上）收敛性待定，故收敛域是x° R, x° R、％ R, % R、x0 R, x° R 或 ％ R, % R 四种情况之一3.在收敛区域内的性质（1）anxn的和函数f x连续并有任意阶导数;n 0可逐项微分nf '(x) ( anx ) nanxn 0 n 1可逐项积分x x n0 f (x)dx ( 0 anX dx)n 0an n 1 X0 n 1nanX n 0绝对收敛11.利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幕级数—泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项,佩亚若余项）为零。
以下是几个常用的麦克劳林展开结论1,1)④ sin u1)n1,1)n u0 n!1)n2n 1u(2n 1)!⑤ cosu1)2n 1n uI (2n)!⑥ ln(1u)n 1)n1- nln21)n 1 n(1,1]⑦(1 u)(1)( n!u (1,1)⑧ tan un2n 1u0 2n 1⑨ arctanun 2n 1(1) u2n 11,1]nnxxnx 2-x 1——1n(1 x)n 11 xn 1 n111n 1n11aa44n 0 n! n 1 n 1J1n 0nn 1n 15.幕级数求和方法・函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装• 数项级数求和方法构造辅助幕级数法付立叶级数1 .周期函数展开成付里叶级数? f(x)为在l, l上周期为21的周期函数，则?特别地，当1 时?当f(x)是偶函数?当f(x)是奇函数2 .非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数f x只是定义在区间0, 1或 0,，两种区间可以令t [X相互转换, 为了利用付里叶级数展开，必须将f x拓展，其方式有两种，即：.f(x) 0x1(1)偶拓展 令F(x) ( )，使F(x)成为1, 1上的周期偶函数，展开后取f ( x) 1 x 00 x 1上的函数值即为f x的付里叶展开。
f (x)0 x 1(2)奇拓展 令F(x) ( ),使F(x)成为1, 1上的周期奇函数，展开后f( x) 1 x 03 .狄利克雷收敛定理设函数f x在l, l上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点, 则f x的付里叶级数收敛。