高中数学必修5知识点总结01 解三角形【编者按】三角形是最基本的几何图形，三角形中的数量关系是最基本的数量关系，有着极其广泛的应用教材要求：通过对任意三角形边角（边长和角度）关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题一、正弦、余弦定理1、直角三角形中各元素间的关系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝；cosA＝sinB＝；；2、斜三角形中各元素间的关系：如右图，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边1）三角形内角和：A＋B＋C＝π2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R为外接圆半径，在同一个三角形中是恒量）正弦定理的变形公式：1）；2）；3）；4）；5）（3）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC余弦定理的推论：二、解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。
由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C1）角与角关系：A+B+C = π；（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；（3）边与角关系：正弦定理 （R为外接圆半径）；余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，，等等解斜三角形的一般情形：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C,或a、A、B）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解两边和夹角 （如a、b、C）余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边 （如a、b、c）余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角（如a、b、A）正弦定理 （或余弦定理）由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C）三、三角形的面积公式下面式子中△代表三角形的面积1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC；（R为外接圆半径）（5）△＝；（6）△＝；（海伦定理，其中为三角形周长的一半）；（7）△＝r·s（r为三角形内切圆的半径，三角形周长的一半）四、三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述正弦、余弦定理公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理面积公式：其中r为三角形内切圆半径，s为周长的一半。
3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列4）设、、是的角、、的对边，则：①若，则；②若，则；③若，则注意：1）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化；2）已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解；3）三角形内切圆的半径：，特别地，；4）三角学中的射影定理：在△ABC 中，，…5）两内角与其正弦值：在△ABC 中，，…6）解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”参考教材：人教版必修5A版）。