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1、微专题14 设点、解点在解决椭圆问题中的应用頁題恿幣君点!I合I! :処進灘童逋准明考血：；扣宴處真题感悟X2(2019江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: a2 +2*= 1(ab0)的焦点为 Fi( 1, 0), F2(1, 0).过 F2 作 x 轴的垂线I，在x轴的上方，I与圆F2： (x 1)2 + y2= 4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E，5连接DF1.已知DF1 =刁(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 求点E的坐标.解设椭圆C的焦距为2c.因为 F1( 1, 0), F2(1, 0),所以 F1F2= 2c=
2、2,所以 c= 1.5又因为DF1 = 2, AF2丄x轴，所以 DF2= .；df1 F1f2=因此 2a= DF1 + DF2 = 4,从而 a= 2. 由 b2= a2 c2,得 b2 = 3.2 2因此椭圆c的标准方程为4+3=1.2 2法一由(1)知，椭圆C: x4 +专=1，a = 2.因为AF2丄x轴，所以点A的横坐标为1. 将x= 1代入圆F2的方程(x 1)2+ y2= 16, 解得y= 4.因为点A在x轴上方，所以A(1, 4).又 F1( 1, 0),所以直线 AF1: y= 2x+ 2.由 y 2x+ 2；2 得 5x2+ 6x_ 伯=o,(x- 1) 2 + y2 1
3、6,11解得x 1或x-三.511 12 将 x- 丁代入 y2x+ 2,解得 y 5.11 12 因此B 51,卡.又 F2(1, 0),所以直线 BF2： y3(x 1).y 3 (x1)得 7x2 6x 13 0,2 21解得x1 或 x137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x 1.3 3将 x 1 代入 y4（x 1）,得 y 2.3因此 E 1， 2 .x2 y2法二由知，椭圆C： 4 + 3 1.如图，连接EF1.因为 BF2 2a, EF1+ EF2 2a,所以 EF1 EB, 从而/ BF1EZ B.因为 F2A F2B，所以/ AZ B.所以/ AZ BF1E,从而
4、EF1 / F2A.因为AF2丄x轴，所以EF1丄x轴.x- 1,3因为 F1(1, 0),由 x2 y2 1 得 y苓4 + 3 1,3又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y 3因此 E 1， 2 .考点整合1椭圆的定义平面内与两个定点Fi, F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点P的轨迹叫做 椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距若M为椭圆上 任意一点，则有MFi + MF2 = 2a.2.椭圆的标准方程及其简单几何性质条件2a2c, a2 b2 = c2, aO, bO, cO标准方程2 2字+討 1(a b O)2 2*+令二 1(a b O)图形厂J1aI
5、范围a x a, b y bb x b, a y b0)的关系;P(xo, yo)在椭圆内?孑+ b2 1.热点聚焦仔类突破I1af热点一设点、解点在解决直线与椭圆相交问题中的应用【例1】(2015江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆学+ b2 1(ab0)的离心率为 孑，且右焦点F至U左 准线I的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线I和AB 于点P，C,若PC = 2AB，求直线AB的方程.c 2a2解(1)由题意，得2且c+ = 3，a 2c解得 a= 2， c= 1，则 b= 1，2所以椭圆的标准方程为 二+宀1.当
6、AB丄x轴时，AB= .：2,又CP= 3,不合题意. 当AB与x轴不垂直时， 设直线 AB 的方程为 y= k(x 1), A(X1, y1), B(x2, y2),将AB的方程代入椭圆方程，得(1 + 2)x24k2x+ 2(k2 1) = 0,1 + 2k2则X1, 2= 2k 5(1+ k ) , C的坐标为彳+亡，匸器，且 AB= . (x2 xi) 2+( y2 yi) 2=；(1 + k2)( x2 x1)2=2 (1 + k2)1 + 2k2.若k= 0,则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而kM0, 故直线PC的方程为k 12k2y+ 1+ 2k2= k x
7、 1+ 2k2，5k2 + 2则p点的坐标为-2，k( i + 2k2)，从而PC二2(:养打厂k .因为PC二2AB,所以 2(3k2 + 1 V1 + k2 = 4/2 (1 + k2)所以|k| (1 + 2k2) 1 + 2k2 ，解得k=.此时直线AB的方程为y=x 1或y= x+ 1.探究提高(1)涉及求弦长的问题通法是联立方程组求解点的坐标，也可以利用根与系数的关系求解；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.(2) 涉及中点的问题，可考虑用 “点差法”求解.【训练1】设椭圆C：2+汾=1(ab0)的右焦点为F,过点F的直线I与椭 圆C相交于A，B两点，直线I的倾斜角为
8、60 AF = 2FB.(1) 求椭圆C的离心率；(2) 如果AB=字，求椭圆C的方程解 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由题意知 y1V 0，y20.(1) 直线I的方程为y= ,3(x c)，其中c= . a2 b2.(xc)，联立 x2 y2得(3a2 + b2)y2 + 2 3b2cy 3b4 = 0.a2+ 存=1 + 3|y2y1|，羽b2 (c+ 2a) V3/ (c 2a)解得 y1=3O+2，y2=30+?.因为 AF= 2FB，所以一y1 = 2y2，3b2 (c+ 2a) ：J3b2 (c 2a)即3a2 + b2= 2 3O+2 ，得离心率e= a2 =3.因
9、为AB=所以 215 由c 2 得 b “5所以.3 3a2 + b2= 4，由a = 3,得 b= 3 a，5 15所以&a= 4?,得 a= 3, b= 5,2 2故椭圆C的方程为X9 + y5二1.热点二 设点、解点在解决与椭圆相关的定点(定直线)问题中的应用2 2【例2】(2019如皋市高三模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆予+狰=1(a b0)过点P(2, 0),且两准线间的距离为3,3.(1) 求椭圆的方程；1(2) 已知B2, B1分别是椭圆的上、下顶点，过点 E 0,-的直线I与椭圆交于M ,N两点，直线MB2与直线NB1交于点T.1 若直线I的斜率为2,求点T的坐标；
10、 试问点T是否在某定直线上？若在定直线上， 求出定直线方程；若不在定直线 上，请说明理由.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆过点P(2, 0),且两准线间的距离为3,3,所以 a = 2, 2XJ3,所以 a = 2, c= 3, b= a 1 1 因为直线I的斜率为2所以直线I的方程为y= 2x+2. c2= 1,2所以椭圆的方程为X + y2= 1.(2) 设 M(x1, y1), N(x2, y2),y1 1则MB2的方程为y= x+ 1,y2 + 1NB1的方程为y二七厂x 1.222x2 + 2x-3= 0,+1，由11得:y= 2%+2所以xi =1 ,72 ，X2 =1 + ,
11、7_2y1 1y= x+ 1,X1由得:y2 + 1y=x 1X2y1 1y2+1x= 2,X2，xi2xix2所以 2X1X2 x2 3x1 1 1 2 + 2 x2 2 一 2 =1, 1=x1 (y2+ 1) x2 (y1 1)4X1X2L=34+2= 2 7-4,y=叮(2 .7 4)+ 1 =X1 1牙(2.7 4) + 1= 2.即点T的坐标为(2.7- 4, 2).- 一 一 1由题意，直线I的斜率存在，设直线I的方程为y= kx+ 2,手+y2=1，由得：(1+ 4Q)x2+ 4kx 3= 0，1y= kx+4k解方程易得 kX2+ 2 X2kX1 + 2+ X2 + X1 +
12、 X2= 1+0 X1X2= 1 + 4k2.y1 1y= X1 x+1，由得:y2+1 彳y= X2 X 1xi(y2+ 1)-X2(yi 1)y= X2(yi 1) + xi(y2 + 1),X2 (y1 1)+ X1 (y2 + 1)X1y2+ X2y1 X2 + X1所以y=X1 (y2 + 1) x2 (y1 1)X1y2x2y1 + x2 + x1,1, 1X1kx2+ 2+ X2kx1 + 2 X2+ X14kx1x2 + 3x1 -x2 4kx1x2 3 (x1 + x2)+ 6x1 + 2x2=3x1 + x2=3x1 + x23 4k4k2 - 32 + 6xi + 2x21 + 4k 1 + 4k=2,3x1 + X2所以点T在定直线y= 2上.探究提高 定点、定直线问题是解析几何问题的命题热点、 重点和难点，在学习 中应引起足够重视，但江苏卷这两年解析几何的命题告诉我们： 解析几何的运算很有必要回归最基本的运算，故仍然要加强解析几何的运算能力训练【训练2】(2019常州期末)已知圆C: (x t)2+ y2 = 20(tv0)与椭圆E:1(ab0)的一个公共点为 B(0, 2), F(c, 0)为椭圆E的右焦点，直线 BF与 圆C相切于点B.(1)求t的值及椭圆E的方程；
