小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 （一）1.特殊数题(1)21－12 当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9 因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18减数从12—89，都可类推 被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变如 210－120＝(2－1)×90＝90， 0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.092)31×51 个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数 若十位数字的和满10，进1如 证明：(10a＋1)(10b＋1) ＝100ab＋10a＋10b＋1 ＝100ab＋10(a＋b)＋1 (3)26×86 42×62 个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c) ＝100ab＋10c(a＋b)＋cc ＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)4)17×19 十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积 原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323证明：(10＋a)(10＋b) ＝100＋10a＋10b＋ab ＝[(10＋a)＋b]×10＋ab5)63×69 十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积 原式＝(63＋9)×6×10＋3×9 ＝72×60＋27＝4347证明：(10a＋c)(10a＋d) ＝100aa＋10ac＋10ad＋cd ＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd6)83×87 十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积如 证明：(10a＋c)(10a＋d) =100aa＋10a(c＋d)＋cd ＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10) (7)38×22 十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式＝(30＋8)×(30－8) ＝302－82＝836 (8)88×37 被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积 (9)36×15 乘数是15的两位数相乘 被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5 ＝54×10＝540 55×15 (10)125×101 三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数125＋1＝126 原式＝12625 再如348×101，因为348＋3＝351， 原式＝3514811)84×49 一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数 原式＝8400÷2－84 ＝4200－84＝411612)85×99 两位数乘以9、99、999、…在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数 原式＝8500－85＝8415 不难看出这类题的积： 最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差； 最低位上的两位数，是100与被乘数的差； 中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则 如果被乘数的个位数是1，例如 31×999 在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969 71×9999＝709999－70＝709929 这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为 (10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a13)1÷19 这是一道颇为繁复的计算题 原式＝0.052631578947368421 根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果 原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序： (1)先用0.1÷2＝0.05 (2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除 如此除到循环为止 仔细分析这个算式： 加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
除数末位是9，都可用此法计算 例如1÷29，用0.1÷3计算 1÷399，用0.1÷40计算2.估算 数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题 美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性检验预测或作出决定……”(1)最高位估算 只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围 例1 1137＋5044－3169 最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右 如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露 例3 51.9×1.51 整体思考 因为 51.9≈50， 而50×1.51≈50×1.5＝75， 又51.9＞50，1.51＞1.5， 所以51.9×1.51＞75 另外9×1＝9， 所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9 例4 3279÷79 把3279和79，看作3200和80。
准确商接近40，若相差较大，则是错的2)最低位估算 例如，6403＋232＋1578 3＋2＋8＝13，原式和的末位必是33)规律估算 和大于每一个加数； 两个真分数(或纯小数)的和小于2； 一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和； 两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2； 奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数； 差总是小于被减数； 整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差 带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差； 带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1； 如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数； 若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数； 带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如， A＜AB＜B。
奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数； 若除数＜1，则商＞被除数； 若除数＞1，则商＜被除数； 若被除数＞除数，则商＞1； 若被除数＜除数，则商＜14)位数估算 整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数 最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和； 例如，451×7103 最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数； 例如，147342÷27 14不够27除，商是4－2＝2(位数) 被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1 例如，30226÷238 302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)5)取整估算 把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算 如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3 12×8.5≈10×10，积接近1003.并项式 应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号 例1 3.34＋12.96＋6.66 ＝12.96＋(3.34＋6.66) ＝12.96＋10＝22.96 ＝3－3＝0 例3 15.74－(8.52＋3.74) ＝15.74－3.74－8.52 ＝12－8.52＝3.48 例4 1600÷(400÷7) ＝1600÷400×7 ＝4×7 ＝284.提取式 根据乘法分配律，可逆联想。
＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4 ＝4 5.合乘式 ＝87.5×10×1＝875 ＝8－7＝1 6.扩 缩 式 例1 1.6×16＋0.4×36 ＝0.4×(64＋36) ＝0.4×100＝40 例2 16×45 7.分 解 式 例如，14×72＋42×76 ＝14×3×24＋42×76 ＝42×(24＋76) ＝42×100＝42008.约 分 式 ＝3×7×2＝42 例2 169÷4÷7×28÷13 =1988 例7 1988 198819881988÷1989198919891989被除数与除数，分别除 9.拆 分 式 10.拆 积 式 例如，32×1.25×25 ＝ 8×1.25×(4×25) ＝10×100＝100011.换 和 式 例1 0.1257×8 ＝(0.125＋0.0007)×8 ＝1＋0.0056＝1.0056 例4 8.37－5.68 ＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32) ＝8.69－6＝2.69 12.换 差 式 13.换 乘 式 例1 12。