专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与三角形）知识点一：直线与椭圆联立，求解步骤：第一步：代入消元，联立 化简：第二步：计算判别式；可直接利用结论：（范围、最值问题）第三步：根与系数关系表达式； ，第四步：利用 ，计算第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点第七步：利用,计算弦长和的面积进而计算原点到直线的距离第八步:利用,，计算第九步：利用,计算知识点二：弦长问题 （最常用公式，使用频率最高） 知识点三：弦长问题设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；；最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；将两式相减，可得；整理得：知识点四：圆锥曲线中的三角形的面积1、三角形面积问题直线方程： 2、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数必考题型一：直线与圆锥曲线的位置关系例1．（1）、（2023·四川南充·统考一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线所过定点以及方程表示椭圆来求得的取值范围.【详解】直线过定点，所以，解得①.由于方程表示椭圆，所以且②.由①②得的取值范围是.故选：C（2）、（2022·陕西·统考一模）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是 .【答案】【分析】求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在轴对参数范围的限制．【详解】由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，，又焦点在x轴上，..故答案为：．1．（2023·广东肇庆·肇庆市第一中学校考模拟预测）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．【答案】且【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.【详解】由直线，则可知其过定点，易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，则，解得且.故答案为：且.2．（2023·重庆北碚·校联考模拟预测）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设椭圆上两点关于直线对称，则可设直线方程为，将其与椭圆方程联立，令，可算出的范围，又线段的中点也在直线上，结合韦达定理可以算出的关系式，从而得解.【详解】设，线段的中点，若此椭圆上存在不同的两点关于直线对称，所以直线的方程可以设为，联立，化为，，解得，而，所以，即，代入直线可得，所以，即实数m的取值范围是.故选：D.必考题型二：弦长问题例2．（1）、（2022·河南郑州·统考三模）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值.【详解】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，由消去y得，则，.∴，∴当时，取得最大值，故选:D.（2）、（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，．若弦长，则直线的斜率为 ．【答案】【分析】设直线的方程为，，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的弦长公式即可得解.【详解】由题意，直线的斜率不等于零，，设直线的方程为，，，联立，消得，恒成立，则，所以，解得，所以直线的斜率为.故答案为：.1．（2023·河南·统考模拟预测）斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（ ）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，即可求出弦长的表达式，结合的面积求得参数p，即可求得答案.【详解】由题意知抛物线的焦点F坐标为，设直线l的方程为，联立，得，，设，则，故， 又点O到直线的距离为，则，即，故，故选：B2．（2023·全国·模拟预测）抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F，AB为抛物线的过点F的一条弦，若从点F发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则 ．【答案】【分析】首先设，，，由题意中的光学性质可知，，再联立方程，利用韦达定理即可求直线方程，最后代入弦长公式.【详解】由题意知，设，，，由两条平行直线之间的距离为5知．易知AB的斜率不为0，设AB：，由得，∴，，∴，∴，∴AB的方程为，∴．故答案为：必考题型三：中点弦问题例3．（1）、（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．【答案】【分析】联立直线与椭圆方程，由韦达定理以及中点坐标公式即可求解.【详解】法一：（直接法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆方程为，由，消去，得，设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，则由题意知，解得．所求椭圆方程为．法二：（点差法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆的方程为．设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，则得，即，又弦的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，，代入上式得，解得，故所求的椭圆方程为．故答案为：（2）、（2022·全国·校联考三模）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.【详解】设，，则，，所以，即，因为AB的中点为，，所以直线的斜率，所以直线的方程为，所以焦点到直线的距离，故选：A.1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的一条弦恰好以点为中点，弦的长为，则抛物线的准线方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，，得到，，结合“点差法”求得，得到直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得，进而求得抛物线的准线方程．【详解】设，，弦所在直线方程为，则，，也点A，B在抛物线上，可得，两式相减可得，所以，即，所以弦所在直线的方程为，联立方程组，整理得，可得，，所以，所以，即，可得，解得，所以抛物线的准线方程为．故选：B．2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由点差法代入计算，可得，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设，，，将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得，，两式相减可得.又因为M为AB的中点，所以，所以，所以，，又直线l与OM的斜率之积为，所以，即，所以椭圆C的离心率.故选：D.例4．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组，解出即可.（2）设，利用点差法得，再根据中点坐标求出，，代入即可得到直线斜率，最后写出直线方程即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得．．又椭圆的长轴比短轴长2，所以，联立方程组，解得所以椭圆的方程为．（2）显然点在椭圆内，设，因为在椭圆上，所以，两个方程相减得，即，因为线段的中点为，所以，，所以．所以的方程为，即．1．（2023·全国·模拟预测）已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1．(1)求双曲线的方程；(2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用点差法可求得，结合，求出，即可求出双曲线的方程； （2）直线与双曲线方程联立，求出点坐标，因为直线与垂直，所以用替换，得到点的坐标，求出直线的方程，即可得出恒过定点，即可得出与的面积之比【详解】（1）依题意可知，设，，则两式作差可得，即，又当时，直线的斜率为1，所以．又，解得，，所以双曲线的方程为．（2）联立直线与双曲线方程，得消去整理得，则，，则所以，，所以．又因为直线与垂直，所以用替换，得到．当，即时，直线的方程为，直线过点．当且，时，直线的斜率为，所以直线的方程为，令，得，所以直线过点．综上，直线恒过点．所以与的面积之比为．2．（2022·上海·统考模拟预测）设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点．(1)求直线的方程；(2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．【答案】(1)(2)A、B、C、D四点共圆，理由见解析.【分析】（1）点差法求解中点弦的斜率及方程；（2）求出AB两点坐标，求出AB的垂直平分线，联立后求出CD点的坐标，得到CD的中点M的坐标，计算得到，从而得到四点共圆.【详解】（1）设，显然，由题意得：，两式相减得：，即，因为点是线段的中点，所以，所以，即直线的斜率为1，所以直线的方程为，整理得：（2）联立与，得到：，解得：，当时，，当时，，不妨设，直线AB的垂直平分线为，与联立得：，解得：，当时，，当时，，不妨设，则CD的中点为，又，，，所以，故A、B、C、D四点共圆，圆心为，半径为.必考题型四：三角形问题例5．（1）、（2023·全国·模拟预测）椭圆的两焦点分别为，过点的直线交椭圆于点，若的最大值为3，则当取得最小值时，的面积为（ ）A．4 B． C．3 D．2【答案】C【分析】由题意，求得，再由公式算得通径长度以及当取得最小值时，的面积【详解】由的最大值为3，即右焦点到左顶点的距离，得，即，两边同时平方得，所以，．易知当直线垂直于轴时，取得最小值，此时，所以.故选：C（2）、（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 .【答案】【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用，求得点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解.【详解】由抛物线：得其标准方程为，所以，得，所以焦点为，准线方程为，又因为在抛物线上且，由抛物线定义可得，代入抛物线方程得，所以.故答案为：.1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若的离心率为，过作双曲线。
