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2、考研成功指点迷津，保驾护航。大师风范，品质感人！2011年，我们将与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您更加自信！数学考试根据工学、经济学、管理学各学科和专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，将数学统考试卷分为数学一、数学二、数学三。第一章 函数及其特性第二章函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。【考点分析】按照考试大纲的要求，函数部分主要考查：函数的四个常见性态奇偶性、单调性、周期性、有界性与函数的两种运算复合运算和反函数运算。在历年的试题中
3、，既有单纯考查函数有关知识的题目，也有许多把函数有关知识融汇于其他内容当中的综合性题目。题型以填空题和选择题为主。一、函数的奇偶性设函数的定义域为，若对于任，都有，称为偶函数；若对于任都有，称为奇函数。偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。【考点一】判别给定函数的奇偶性的主要方法是：不管的具体形式是什么，均计算的值。如果，则由定义知为偶函数；如果，则由定义知为奇函数。【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）（2），（3）【考点二】设二阶可导，则有：（1） 若为奇函数，则为偶函数，为奇函数，且。简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。（2） 若为偶函数，则为奇函数，为偶函数，且。简单地
4、说，可导的偶函数的导数为奇函数。【例2（1997数学三、四）】若在内 且，则在内有( )（A）（B）（C）（D）二、函数的周期性对函数，若存在常数，使得对于定义域的每一个，仍在定义域内，且有，则称函数为周期函数，T称为的周期。【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数，计算是否有等式成立。而对于抽象的周期函数，其周期一定与已知条件中所给的参数或常数有关，是其二倍、三倍。【例3】设对任何存在常数。证明是周期函数。【例4】设，则在内，（ ）.(A) 是周期函数，周期为 (B) 是周期函数，周期为(C) 是周期函数，周期为 (D) 不是周期函数【例5】设在上
5、有定义，且恒有关系式成立，其中为正实数，证明是周期函数。【考点四】可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说，如果函数f(x)二阶可导，且有，则，。【例6】设函数具有二阶导数，并满足且若 则（ ）(A) (B) (C) (D) 三、函数的有界性设函数在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个，都有 成立，称在X上有界，否则，即这样的M不存在，称在X上无界。 【考点五】（1）无界变量与无穷大量的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。（2）非零的有界变量与无穷大量的乘积是无界变量，但不是无穷大量.【评注】(1) 无界变量与有界变量是函数有界性的正反两个方面。（
6、2）用无穷大量的定义和无界变量的定义来区别这两个概念。是指，在x=x0处的充分小邻域内，对于所有的都可以任意大，而“无界”不要求“所有的”。【例7】设函数，则f (x)是（ ） 【例8】当时，变量是（ ）（A）无穷小。（B）无穷大。（C）有界的，但不是无穷小量。（D）无界的，但不是无穷大。【例9】设数列，则下列断言正确的是（ ） （A）若发散，则必发散 （B）若无界，则必有界（C）若有界，则必为无穷小 （D）若为无穷小，则必为无穷小 四、函数的单调性设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与且时，均有 ，则称函数在区间上单调增加（或单调减少）。如果其中的“”或“”改为“”），称函数在上严格单调增
7、加（或严格单调减少）。设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，若对任一，有在a,b上单调增加（减少）。注意： 若将上面的不等式的点（驻点）只有有限个，则结论仍成立。【考点六】（1）判断抽象的函数的单调性，在考试时采用举反例排除法，而尽量不用单调性的定义进行证明；（2）导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零，其导数也可能等于零。【例10】设， 分别为定义在内的严格增函数与严格减函数，则（ ）. 【例11】设f(x)在内可导，且对任意，当时，都有，则（ ） （A） 对任意 （B）对任意 （C）函数单调增加 （D）函数单调增加 .五、分段函数与复合函数 在
8、用公式法表示的函数中，若自变量与因变量之间的函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达，即在函数定义域的不同部分用不同数学式子表示的函数，称为分段函数。 分段函数的定义域是各个部分自变量取值范围的总和或并集。设函数的定义域为，函数的值域为，若集合与的交集非空，称函数为函数与复合而成的复合函数，为中间变量。对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合的。 将两个或两个以上的函数特别是分段函数进行复合是考研中的基本题型。【考点七】求分段函数的复合函数的主要方法是：分段代入法。其核心是先代入，后解不等式。【解题程序】（1）代入：如果复合函数的外层函数是段分段函数，而内层函数是段分
9、段函数，则将内层函数分段代入外层函数后，得到的复合函数为段的分段函数。（2）解不等式：分别解出个不等式构成的不等式组，把无解的不等式组去掉，即得所求的复合函数。【例12】设 ， ，求.【例13】设 则（ ）（A）（B）（C）（D）【例14】设( )（A）（B）（C）（D）六、反函数 设函数的值域为，定义域为，则对于每一个，必存在使。若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数。但习惯上把反函数记作。 在同一直角坐标系下，函数与其反函数的图形是同一条曲线；而函数与其反函数的图形关于直线对称。【考点八】求反函数的程序：（1）由解出，得到关系式；（2）将与互换，即得所求函数的反函数。【
10、例15】已知 ，求反函数及其定义域。【例16】设f(x)和g(x)互为反函数，则的反函数是（ ）。 （A） （B） （C） （D）.【例17】已知函数与的图形对称于直线，且 ，则第二章 数列的极限【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。一、数列的极限1数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列称为数列的一般项或通项。设有数列和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当nN时，恒有 ，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在
11、且唯一。2极限存在准则（1）定理1.1.4（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有 ， 则极限 存在，且等于A .注 对其他极限过程及数列极限，有类似结论. （2）定理：单调有界数列必有极限. 3重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。 （2）。 （3） 。【考点九】(1) 单调有界数列必有极限.(2) 单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为.【评注】（1）在应用【考点九】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。（2）判定数列的单调性主要有三种方法：I
12、计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。II 当时，计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。III 令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。【例1】(1) (武汉大学，2003年)设，, 证明：收敛，并求其极限。(2) （中国科学院，2002年）设 （n1），则 .【例2】设.证明数列的极限存在，并求此极限。【考点十】（夹逼准则）设有正整数，当时，且，则.【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。【
13、例3】求下列极限：【例4】设 （），求 .【例5】设，且，为常数. 则数列和（ ） （A） 都收敛于 （B）都收敛，但不一定收敛于 （C） 可能收敛，也可能发散 （D）都发散【例6】设，且，和均为数列. 则（ ） （A）存在且等于 （B）存在但不一定等于 （C）一定不存在 （D）不一定存在【考点十一】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有（1）， （2） .【例7】求下列极限：（1） （2）【例8】求下列极限：设函数，求极限.【考点十二】设，则。也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限。【例9】求下列极限：（1） （2）（其中）第三章 函数的极限【考点分析】函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。【考点十三】 也就是说，函数极限存在且等于A的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点十三】判断双侧极限是否存在。【例1】当时，函数的极限（ ） （A）等于2. （B）等于0.（C）为（D）不存在但不为【例2】求极限【考点十四】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化
