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1、第4 关羽开门 刀举成功计名释义关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀. 数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！典例示范例1 （2006年四川卷第19题）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（）求证：MN面ADD1A1；（）求二面角PAED的大小；（）求三棱锥PDEN的体积.分析 这是个长方体，而“长”
2、正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.解 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MNBCC1B1MN面ADD1A1（证毕）.插语 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（）和（），都可转化到正方体里进行（从略）.【例2】 (04重庆卷题21)设p0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径
3、作圆H（H为圆心）.（）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；（）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.【分析】 （）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=|AB|.(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2（3）证AOB=90,即OAOB，等.显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.【解答】 （）当ABx轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=2p,|AB|=|y1-y2|=4p.显然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,点Q在H上.如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tan(x-2p),x=,代入：y=tan-2ptan.即
4、tany2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二实根y1y2,y1+y2=,y1y2=-4p2. =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.,故点O仍在以AB为直径的圆上.【分析】 ()为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当ABx轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB
5、|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.【解答】（）直线AB的倾角为,当=90时，H的半径为2p,SH=4p2.当90时，不妨设0,)，则综上，|AB|min=4p,当且仅当=90时，（SH）min=4p2,相应的直线AB的方程为：x=2p.别解：由（1）知恒有AOB=90.|2=| =2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p.y1y2=-4p2,x1x2=于是|216p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，SH=4p2.【点评】 斧
6、子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.对应训练1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且a1,a2,，an构成一个数列an,满足f(1)=n2.(1)求数列an的通项公式，并求之值.(2)证明0f1.2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿对角线BD将ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).(1)求证:PDPC;(2)求二面角PDBC的大小.参考答案1.分析： (1)an的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这种数列的求和
7、方法是“错项相减”.(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.解答： (1)f(1)=a1+a2+an=n2,即Sn=n2,an=Sn-Sn-1=2n-1,=；(2)由(1)知an=2n-1.f=1 -:f = = =1-设g(x)=,g(x)=3-x+(x+1)3-xln3 (-1)=.g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，g(n)max=g(1)=,又当n时,g(n)0,从而f.2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.(1)为证PDPC,须先证PD平面PBC,已有PDPB(翻折前为ADAB),还须PDBC.(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO平面BCD于O,且OCD,只须作OMBD即可.解答: (1)由条件知PO平面BCD于O,且OCD,BCCD,BCPD(三垂线定理),但PDPB,PD面PBC,从而PDPC.(2)作OMBD于M，连接PM,则BDPM(三垂线定理),PMO是二面角PBDC的平面角,PB=6,PD=2,BD=4,PM=3,已证PDPC,PC=,PO=.sinPMO=,PMO=arcsin,即所求二面角PDBC的大小为arcsin.
