第三章悬臂梁的弯曲实验3.1静态实验技术及发展情况静力分析是工程结构设计人员使用最为频繁的分析手段，主要用来求解结 构在与时间无关或时间作用效果可忽略的静力载荷（如集中/分布静力、温度载 荷、强制位移、惯性力等）作用下的响应，并得出所需的节点位移、节点力、约 束（反）力、单元内力、单元应力和应变能等该分析同时还提供结构的重量 和重心数据MSC.NASTRAN支持全范围的材料模式,包括：均质各项同性材料, 正交各项异性材料，各项异性材料，随温度变化的材料方便的载荷与工况组合 单元上的点、线和面载荷、，热载荷、强迫位移,各种载荷的加权组合，在前后 处理程序MSC.PATRAN中定义时可把载荷直接施加于几何体上具有惯性释放的静力分析：此分析考虑结构的惯性作用，可计算无约束自由 结构在静力载荷和加速度作用下产生的准静态响应非线性静力分析：在静力分析中除线性外，MSC.NASTRAN还可处理一系列具 有非线性属性的静力问题，主要分为几何非线性，材料非线性及考虑接触状态 的非线性如塑性、蠕变、大变形、大应变和接触问题等3.2悬臂梁的挠曲线实验3.2.1实验目的弯曲变形是材料力学的重点内容，也是工程设计中常用的理论（正应力公式， 挠曲线积分方程等）得以建立的基础。
建立“力学模型”，也就是“平面假定”， “小变形假定”和绞支座，固定端等理想约束是否正确地反应实际有赖于实验检 验本实验的目的就是通过实验考察梁的力学基础，具体地说就是检验平面假定 和根据它推出的正应力公式及检验小变形挠曲线方程的正确性3.2.2实验设备1、悬臂梁测量装置（如图3-1所示）、梁截面（如图3-2所示）图3-1图3-2梁截面铝合金梁的有关参数：E=76Gpa B=26.2mm b=23.2mm H=25.8mm h=22.8mm L=500mm2、 静态应变仪及预调平衡箱3、 游标卡尺、卷尺4、 磁力表座及百分表5、砝码（单位：公斤）3.2.3实验原理1、弯曲正应力:纯弯梁受弯后，截面上的正应力公式为:厂叩广 （3-1）M—P *DB*式中：MZ 截面上的弯矩，MZ Pn CB ~2单位：N*mIz——截面对中性轴惯性矩（单位：mm4）Yj 截面上测点到中性轴距离（单位：mm）在矩形截面梁上，沿着梁的高度在两侧面上各布置五个传感元件（即电阻应 变片），每片相距H/4,贴片方向与梁轴线平行，并把导线引出，梁受力后，贴 在梁上的应变片的应变由电阻应变仪测定距中性层不同高度的线应七"=1-5） 与正应力的关系如下：Q = EE；1 1 （3-2）式中：£ '是作为Ki点的应变（单位：微应变R 8）将式（3-2）所得应力与式（3-1）比较即可验证弯曲正应力公式的正确性。
2、通过测定挠度来建立挠曲线方程：梁弯曲后弯矩方程为：切X）=如一 X）EIV ''=— PL + PX因此，可建立挠曲线微分方程："和 5 曰 EIV' = PX 2/2 — PLX + C对X枳分后得：EIV = PX 3/6 — PLX 2/2 + CD + D 号）式中C,D为积分常数，可用实验的方法确定：即沿梁长度任选两个测点XI、X2, 测出VI、V2，将（XI，V1）及（X2, V2）分别代入（3-3）式得到关于C、D的二 元联立方程，即可解出C、D的五个联立方程：EIVi = PX 3/6 — PLX 2/2 + CXi + D（ 3-4）人 Zi = EIVi — PX 3/6 + plx 2 / 2令 i i则有Z・=CXi+D这是Zi与Xi的线性关系式，系数C,D的最佳值可按最小二乘法回归求得: nZXCX &C — 5^ i i 5^ i inZ X 2 - (Z X )2ZX2ZZ -ZX ZXZD — i 亍 i i i ia X2 一 (3-6) 式中n在本实验中等于63.2.4实验步骤挠度的测量1、把磁力表座安放在实验台的底部平台上，将初始百分表调零或读数V'， 终栽下读末读数V''，实验值V=V'-V''，在L段内选取六个位置（450mm、40mm、 35mm、30mm、25mm、20mm），用上述同样的方法测出其各位置上的挠度V.，每个 位置上重复测三次，取平均值。
2、 测出Xi,Vi多组数据，进行线性回归后求出C，D的最佳值建立挠曲线方 程，并与材料力学教材的挠曲线公式比较，在坐标纸上绘出实验挠曲线图与理论 挠曲线图3、 在试验挠曲线方程中若舍弃CX+D项，再将此曲线与材料力学理论公式比 较（绘制曲线），结果如何3.2.5实验数据：L=500mm=0.5m P=100N E=76GPa=76*109 Pa1、测试过程:450mm 400mm 350mm 300mm250mm 200mm（1）未加载力：（v均是负的，表示挠度向下）（2）加载力后P=100N：3.2.6实验数据处理计算可得:X1=450mmV1=0*0.01mmX2=400mmV2=-4*0.01mmX3=350mmV3=-9*0.01mmX4=300mmV4=-16*0.01mmX5=250mmV5=-21*0.01mmX6=200mmV6=-28*0.01mm:（v均是负的，表示挠度向下）X1=450mm△V1=-210*0.01mmX2=400mm△V2=-176*0.01mmX3=350mm△V3=-146*0.01mmX4=300mm△V4=-115*0.01mmX5=250mm△V5=-90*0.01mmX6=200mm△V6=-67*0.01mm（即实际变形）：（v均是负的，表示挠度向下）X1=450mmV1=-210*0.01mmX2=400mmV2=-172*0.01mmX3=350mmV3=-137*0.01mmX4=300mmV4=-99*0.01mmX5=250mmV5=-69*0.01mmX6=200mmV6=-39*0.01mm（3）最终测量所得值I BH 3_ bh 3 z — ~\2~ — T20.0262m * (0.0258m)3 0.0232 * (0.0228m)3—12=14580.954mm12=0.146*10 - 6 m2.1*10-3 EI —61.7*10-3 EI =P *43 PL *42+ 4C + D面积=BH - bh—0.0262m * 0.0258m - 0.023.2m * 0.0228m=147mm2—0.147*10-3 m 2由梁弯曲后弯矩方程为：M（x）H）EIV ''=- PL + PX因此，可建立挠曲线微分方程："和 5 曰 EIV '= PX 2/2 - PLX + C对X积分后得：EIV — PX 3/6 - PLX 2/2 + CD + D 号）可将X1、V1,X2、▼2代入公式3-3中得到:P *4.53 PL *4.52-+ 4.5C + D联立（1）（2）可得方程组。
令（1）-（2）可得：0.38 *10-3 EI = 0.45175 -1.0625 + 0.45C代入数据可得：4.21648 + 0.61075 — 0.45C可得：C —10.73把代入（2）中得到：1.72 *10-3*76*109*0.146*10-6 —1.067 - 4 + 0.4 *10.73 + D 可得：D —17.73同理，将 X2、V2，X3、V3，X4、V4，X5、V5，X6、V6 分别代入公式（3-3） 中，可得关于C，D的六个联立方程：EIVi — PX 3/6 - PLX 2/2 + CXi + D（ 3-4）人 Zi — EIVi-PX3/6 + plx2/2令 i i则有 Zi=CXi+D这是Zi与Xi的线性关系式，系数C,D的最佳值可按最小二乘法回归求得:n£ XZ —£ X £ ZC — i i i in£ X 2 — (£ X )2£ X 2 £ Z —£ X £ XZD — ，▼ i b i i i ― c、n£ X； —(£ X )2 (3-6)式中n在本实验中等于66(X *Z + X *Z +...... + X *Z ) — (X +...... + X )(Z +...... + Z ) 即： C — 1 1 2 2 6 6 1 6 1 6—6( X 2 +...... + X 2) — (X1 +...... + X 6)2所以可知：Z1 — EIV]—乍+ ^^=76*109 *0.146*10-6 *154.35*10-9 +231.525*10-9 =1712.899*10-6所以计算可得：C=9.86D=15.73又可知：当X=500mm时，代入公式(3-3)可得：Vmax=-0.305*10-3m (3-7)挠曲线微分方程为：平面弯曲的挠曲线，正好为xoy平面内的一条曲线，所以曲线y=f(x)：从 数学上讲，是一条普通的平面曲线。
从力学上讲，就是梁发生弯曲变形的挠曲线 1、挠曲线微分方程：1 _ M(x) 1 二土 .「⑴己~p~ ei p ［i+y2/⑶ _ + M(*) _ M(x)1+必0)「乳［1+心汗)］第ELd 2— M 即：~dx — EI> EI ''= Mmax由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，故挠曲线微分方程没有得到广泛应用该挠曲线微分方程是非线性的，适用于弯曲变形的任何情况2、挠曲线近似微分方程：+ "侦） _ Af（x）一 h 形 珥9十® VVJ 3在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，转角0较小，”心、々W I :若"1+ e ' E ：： 1*土些故得挠曲线近似微分方程： EIUJ — 挠曲线近似微分方程适用范围：线弹性、小变形；y轴向上，x轴向右；3.2.7实验值与理论值比较测量的挠度值与按材料力学公式计算所得挠度值比较理论计算所得值见式（2-1），实验计算所得最大值见式（3-7）最大挠度理论计算值与实验计算值比较见表3-1所示：表3-1最大挠度Vmax理论计算值实验计算值比较Vmax=-0.375*10-3mVmax=-0.305*10-3m比值0.813当 X1=450mm 、 X2=400mm 、 X3=350mm 、 X4=300mm 、 X5=250mm 、 X6=200mm时的理论计算挠度值与实验测得的挠度值相比较，见表3-2所示：表3-2—450mm400mm350mm300mm250mm200mm理论值-3.19mm-2.64mm-2.11mm-1.62mm-1.17mm-0.78mm实验值-2.10mm-1.72mm-1.37mm-0.99mm-0.69mm-0.39mm比值0.658。