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1、柯西准则及其应用摘要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础它的应用贯穿于数学分析课程学习始终一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性朗读显示对应的拉丁字符的拼音字典 引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，即设函数在内有定义，存在的充要条件是：任给，存在正数()，使得对任何，都有事实上，当，五种
2、情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处1 柯西准则的其它五种形式定理1.1 设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有，存在正数(，存在正数(存在使得当时有从而有于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列的极限存在，记为，即设另一数列且，则如上所证，存在，记为现证，为此，考虑数列易见且，故仍如上面所证，也收敛于是，作为的两个子列，与必有相同的极限，所以由归结原则推得证毕定理1.2 设函数在内有定义存
3、在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有，设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有证 先证必要性设，按照定义，于是再证充分性设，设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有，设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明2 归纳柯西准则在数学分析中的应用2.1柯西准则在实数完备性理论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准
4、则入手，可依次推出其它五个定理2.1.1用数列的柯西收敛准则证明确界原理证 设为非空有上界数集由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即存在，使得分别取则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在，使得 （1）又对正整数，是的上界，故有结合（1）式得；同理有从而得 于是，对任给的，存在，使得当时有由柯西收敛准则，数列收敛记 （2）现在证明就是的上确界首先，对任何和正整数有，由(2)式得，即是的一个上界其次，对任何，由及(2)式，对充分大的同时有又因不是的上界，故存在，使得结合上式得这说明为的上确界 同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界2
5、.1.2 用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理证 在闭域套的每一个闭域内任取一点，构成一个各点各不相同的平面点列，则对一切自然数，由于，以，因此由定义任给，存在正整数，使得当时，对一切自然数，都有，根据柯西准则收敛，记现证为此任意取定则因为对一切自然数都有，由定义知是的聚点，而闭域必为闭集，所以它的聚点最后证明的唯一性，若还有则由于，所以2.2 柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出2.2.1 柯西准则在数列收敛性判定中的应用数列收敛有数列发散使得例1 应用柯西收敛准则，证明数列收敛证 对取，则对，有 而由知，故由柯西收敛准则知数列收敛2.2.2 柯西准则在函数极限存在性判定中
6、的应用不存在的充要条件是：，对，都存在，使得例2 证明极限不存在证 可取，对任何，设正整数，令则有，而于是按照柯西准则，极限不存在2.2.3 柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用因为无穷积分的敛散性是由变上限函数存在与否确定的因此，可由函数极限存在的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则：无穷积分收敛有同理，由函数极限存在的柯西准则可直接推出瑕积分（a为瑕点）收敛的柯西准则：瑕积分（a为瑕点）收敛有例3 设在上连续可微，并且如果(当时)，其中为一常数试证：证 （反证）假设，则使对，总有因为在上连续可微，故在上一致连续，于是，使当时，又因收敛，故时，当时，对该，存在，故，当时 矛盾2.2.4
7、 柯西准则在级数收敛性判定中的应用因为级数的敛散性是由其前项和数列的敛散性确定的所以，由收敛的柯西准则直接可得级数收敛的柯西准则：收敛有例4 级数收敛的充要条件是：对任意的正整数序列都有证 必要性 因为收敛，所以对当及有特别地所以充分性 用反证法若发散，则及自然数，使特别及自然数使，及自然数，使 这与矛盾所以级数是收敛的例5应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛证 由于因此，对任给，取，使当及对任意正整数，由上式就有依级数收敛的柯西准则推得级数是收敛的2.2.5 柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用由数列收敛的柯西准则易推得函数列一致收敛的柯西准则：函数列在上一致收敛有又因为函数项级
8、数的一致收敛性是由其部分和函数列的一致收敛性确定的所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯西准则：在上一致收敛 当时，有 进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法例6 证明：若对，有且收敛，则函数列在区间上一致收敛证 ， 因为收敛，故有有所以函数列在区间上一致收敛例7 设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛证 因为与绝对收敛对当时，对有又因为是上的单调函数，所以对有 或 由一致收敛的柯西准则可推出函数项级数在上绝对且一致收敛柯西准则的优越性柯西准则的优越性是显然的，在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念都有内容相应的柯西
9、收敛（或一致收敛）准则，其最大的优点是不需借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的具体特点来解决相应的问题，使得看似复杂的问题变的简单易懂它具有整齐完美的形式，充分体现了数学美，使得许多抽象的数学理论形象可见在数学分析中有非常重要的理论价值，所以深刻理解柯西准则很重要参考文献1 责任编辑高尚华，华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，2001年，第三版2 崔万臣，谈柯西准则在数学分析中的作用，唐山师专学报，1993年，第21卷，第2期3 王安斌、宾红华，用柯西准则证明几个相关命题，数学理论与应用，2004年，第24卷，第4期4 陈祥平，对柯西准则教学的体会，济宁师专学报，1998
10、年，第19卷，第6期5 薛怀玉，上完备性定理的等价，咸阳师范专科学校学报（自然学版），1998年，第13卷，第6期6 钱吉林，数学分析题解精粹，湘北长江出版集团，2009年，第二版7 刘玉链、傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，2003年，第三版8 陈纪修、於崇华、金路，数学分析，高等教育出版社，2004年，第二版Cauchy criterion and its applicationAbstract: The Cauchy criterion is one of the six theorems which is about the completeness of real numbers
11、. it is the foundation of the limit. Throughout the course of mathematical analysis, its application has always been. In general, During the curriculum materials of the mathematical analysis, when it discusses the Cauchy criterion, only a situation thatis discussed. This article will supply proofs of the other five cases of the Cauchy criterion of the limits of function. At the same time, it will discuss and sum the flexibility application of Cauchy criterion in the limits, the series , Points and so on. Keywords: Cauchy criterion; applications; limit exists; superiority第7页
