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1、杨浦区2020-2021学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷 2021.4 考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上2本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 已知复数满足（为虚数单位），则_2已知函数的反函数为 ，则 _ 3在行列式中，元素的代数余子式的值为_4在的二项展开式中，项的系数是_5已知满足:，则的最大值为_.6方程的解为_ 7已知一组数据的中位数为4，则其总体方差为_ 8已知函数为奇函
2、数，若，则_9直线：（ ）被圆：所截得的弦长为，则_10非空集合中所有元素乘积记为. 已知集合 ，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）11. 函数，若有且仅有一个实数满足： ；是函数图像的对称轴，则的取值范围是 12如图，在棱长为2的正方体中，点是平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点所围成的平面区域的面积是_二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13若，是虚数单位,则 “”是“为纯虚数 ”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条
3、件 D既不充分也不必要条件14已知数列是无穷等比数列，若，则数列的前项和 （ ）A无最大值，有最小值B有最大值，有最小值C有最大值，无最小值 D无最大值，无最小值15在四边形中，且满足 ，则 （ ）A2 B C D 16已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确是 （ ）函数可能是奇函数；函数可能是周期函数；存在，使得；对任意，都有.A B C D三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，棱柱中，底面
4、， 是棱的中点 .（1）求证：直线与直线为异面直线；（2）求直线与平面所成角的大小.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知，（为实常数）（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数在中有零点，求的取值范围.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里， 是圆形区域外一景点，. （1）、相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）20 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分
5、，第2小题满分6分，第3小题满分6分.焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点.（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；（2）是轴上一定点. 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围； （3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4 ，求线段的长.21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知无穷数列与无穷数列满足下列条件： ； .记数列的前项积为 .（1）若，求；（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；（3）若，求的最大值.评分参考一填空题（本大题满分54分）本
6、大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13 B 14 C 15 D 16 B三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）证明：假设直线与直线共面 （2分）点 平面而过直线和直线外一点有且只有
7、一个平面 （2分）平面，矛盾！ （1分）假设不成立 故直线与直线为异面直线 （1分）（2） 如图，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 （1分）则， （2分）设平面的一个法向量 则 ，取 （2分）， （1分）设直线与平面所成角所成角为 则 （1分）所以 （1分）18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）当时， （2分）化简得： （2分）解集为 （2分）（2）依题意，有解 （2分） （2分） 的取值范围是 （2分） 的取值范围是 （2分）19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1） （2分） （
8、1分） （2分） （公里） （1分）答：、相距约15.28公里（2）中， （2分）中， （1分）即 （1分） （1分）（公里） （1分）所需时间为小时 （1分）答：从行驶到约需要1.25 小时 （1分）21 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.【解】 （1）， （2分） （1分） （1分）（2） 由得 （2分）设，则 ，（2分）由题意最大，所以对称轴， （2分）（3）是的圆心 。设（i）若都位于上，则，(舍) （2分）（ii）若都位于上，则 将式代入式，得： 或 代入得：或 （舍） （2分）（iii）若分别位于与上，则，得 （1分）， 综上： （1分）21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（1）， （3分） （1分）（2）不存在，假设存在，设公差为 （2分）若，则，公差，矛盾；（2分）若，则，公差，矛盾. （2分）假设不成立，故不存在.（3）由题意， 且 设， 得，进一步得显然的值从大到小依次为 （2分）（）若，则，则不可能 （1分）（）若，则或，则或不可能 （1分）（）若，则，则不可能 （1分）（当或取得）从而，. （1分） （当：取得） （1分）又 ， （1分）- 6 - -
