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1、复习思考题第一章11判断下列说法是否正确：（a）图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。正确。（b）线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。正确。这里注意：增加约束，可行域不会变大；减少约束，可行域不会变小。（c）线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。错误。线性规划的一个基本定理为：线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点。（d）如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点。错误。如果约束条件中有一个约束不包含坐标的原点，则即使有可行域，也不包含坐标的原点。（e）取值无约束的变量，通常令，其中
2、，在用单纯形法求得的最优解中，有可能同时出现。错误。由于，因此， 中至多只有一个是下的基变量，从而中至多只有一个取大于零的值。（f）用单纯形法标准型的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作入基变量。正确。如表1-1，取为入基变量，旋转变换后的目标函数值相反数的新值为：即旋转变换后的目标函数值增量为，由于，只要就能保证，满足单纯形法基变换后目标函数值不劣化的要求。表1-1cj ck cBxBb （） （） -z-（） （）（g）单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。正确。假定单纯形法计算中，比值至少有两个不同的值。对表1-2，设表1-2cj c
3、k cBxBb （） （） （） （）-z- 如果取为出基变量，则有。（h）单纯形法计算中，选取最大正检验数对应的变量作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长。错误。假设存在正检验数，其中最大者为，取为入基变量，参考（f），可知旋转变换后的目标函数值增量为，无法肯定目标函数值得到了最快的增长。（i）一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 人工变量一般是以初始基基向量的地位引入的，它一旦出基，其地位已被对应的入基变量取代，删除单纯形表中该变量及相应列的数字，不影响计算结果。（j）线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组
4、合表示。错误。对可行域非空有界，上述说法中线性组合改为凸组合就是正确的；对可行域无界，很明显，说法不正确。(k)若和分别是某一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中和为任意正的实数。错误。如果增加约束，说法正确。（l）线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为（为人工变量），但也可以写为，只要所有均为大于零的常数。正确。由于所有，所有，因此等价于，说法正确。（m）对一个有个变量，个约束的标准型的线性规划问题，其可行域顶点恰好是个。错误。约束个数应该是个；如果为约束组约束个数（系数矩阵的行数），则可行基的最大数目为，由于线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点，因此
5、说法不对。（n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转到目标函数值更大的另一个可行解。错误。迭代计算前后的解是基本可行解；据（h），旋转变换后的目标函数值增量为，由于，只要故，不排除的可能。（o）线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基本可行解。错误。唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可行域的顶点，。（p）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。错误。如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，这样就有了无穷多的最优解。(q) 线性规划可行域的
6、某一顶点若其目标函数值优于相邻所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优。错误。不妨考虑以下两种情形：线性规划问题可行域无界图1-1中的例1-1说明了说法不成立。该线性规划问题可行域有界设是某线性规划问题可行域的一个顶点，且其目标函数值优于相邻所有顶点（）的目标函数值，如果不是最优解，则设最优解为，这时有：。其中为可行域的第个顶点，为可行域顶点的数目。又有：，矛盾；或，则与均优于，与是顶点矛盾。这就说明了是最优点。x1x2OAB551010PZ=0Z=5图1-1 (r)将线性规划约束条件的号及好变换成号，将使问题的最优目标函数值得到改善。错误。设线性规划的第个约束为或，它们代表以为边
7、界面的半空间，显然，把上述约束中的不等号换成代号换成等号，可行域将变小，问题最优值变化的情况有下述三种：改善、不改善或劣化。(s) 线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值。错误。图1-2中的例1-2说明了说法不成立。x1x2OAB551010PZ=10图1-2-5-2.5(t) 一个企业利用3种资源生产5种产品，建立线性规划模型求解到的最优解中，最多只含有3种产品的组合。错误。对例1-4的求解，说明了说法错误。例1-4cj0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.8 -M -M -McBxBbx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8-M -M-Mx6x7x810010010
8、01 2 0 1 0 1 0 00 0 2 2 1 0 1 0 1 2 0 3 0 0 1100/1-100/3z300 M4M -0.2+4M -0.8+4M 0-0.1+3M -0.3+3M 0 0cj0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.8 -M -McBxBbx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7-M -M0x6x7x1200/3100100/30 5/3 -2/3 1 -1 1 00 0 2 1 0 1 1 1/3 2/3 0 1 0 0200/350-z500/3 M0 -0.2+4/3M -0.8 0-0.1+5/3M -0.3+3M 0cj0 -0.1 -0.2 -0.3
9、-0.8 -McBxBbx1 x2 x3 x4 x5 x6-M -0.30x6x4x150/350100/30 5/3 -5/3 0 -3/2 10 0 1 1 1/2 0 1 1/3 2/3 0 1 010-100z15+50/3 M0 0.1-53M -13/20-3/2 M-0.1+5/3M 0 0cj0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.8cBxBbx1 x2 x3 x4 x5-0.1 -0.30x2x4x11050300 1 -1 0 -9/100 0 1 1 1/2 1 0 0 13/10-5030z160 0 -37/500 0cj0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.8cB
10、xBbx1 x2 x3 x4 x5-0.1 -0.3-0.2x2x4x34020301 1 0 0 2/50 0 0 1 -4/5 0 1 0 13/1040-30z160 0 -37/500 0时，显然，说法不成立。(u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解。错误。图1-4中的例1-5，说明了说法不对。x1x2OAB551010P，opt=maxZ=0Z=5图1-3P，opt=min(v)一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系较少。 以标准型为例，系数矩阵，限定向量，价值向量，在迭代方法给定的前提下，它们的大小决定了迭代的工作量
11、。这里为约束组约束个数，为变量个数，不能简单地说迭代的工作量与的关系较少。第二章10判断下列说法是否正确：（a）任何线性规划问题存在并具有唯一的 对偶问题。正确。有原问题和对偶问题数学模型之间的对应关系易知说法成立。（b）对偶问题的对偶一定是原问题。正确。根据对偶问题的对称性，说法成立。（c）根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解；反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。错误。根据若对偶性，当原问题解无界时，其对偶问题无可行解；当对偶问题无可行解时，原问题解无界或无可行解。（d）设和分别是标准形式和的可行解，和分别为其最优解，则恒有。正确。根据弱对偶性，有，；据可行解是最优解时的性质，有。综上，有。（e）若线性规划问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解。错误。例2-1 如下：其对偶问题为 ；。原问题无穷多最优解，其对偶问题唯一最优解。（f）若原问题有可行解，则其对偶问题有可行解。错误。据弱对偶性，若原问题解无界，则其对偶问题无可行解。（g）若原
