《2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.化简ABADDC=()A. ADB. CBC. DBD. AC2.已知复数z满足( 73i)z=8，则z=()A. 32 72iB. 7232iC. 32+ 72iD. 72+32i3.在ABC中，A=60，C=75，AC= 3，则BC=()A. 2B. 32C. 3 22D. 2 24.i2023i2024=()A. 1+ 2iB. 1 2iC. 1iD. 1i5.已知向量a=(1,1),b=(2,3)，则b在a上的投影向量的坐标
2、为()A. (12,12)B. (12,12)C. (12,12)D. (12,12)6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB=csin(A+B)asinA，则ABC为()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形7.若向量a，b的夹角是3，a是单位向量，|b|=2，c=2a+b，则向量c与b的夹角为()A. 6B. 3C. 23D. 348.在三棱锥ABCD中，ABD和BCD均为边长为2的等边三角形，AC=3，则该三棱锥的外接球的表面积是()A. 829B. 839C. 283D. 28二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有
3、多项符合题目要求。9.已知复数z=m21+(m+1)i(mR)，则下列命题正确的是()A. 若z为纯虚数，则m=1B. 若z为实数，则z=0C. 若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=32D. z在复平面内对应的点可能在第三象限10.关于平面向量a,b,c，下列说法不正确的是()A. (ab)(a+b)=a2b2B. (a+b)c=ac+bcC. 若ab=ac，且a0，则b=cD. (ab)c=a(bc)11.如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则()A. AH与CF不能构成一组基底B. OA+OC=2 2OBC. AG在AB上的投影向量的模
4、为 2D. PAPB的取值范围为14,3+2 2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,2),b=(3,1)，则ba= _13.已知(2i)x=4+yi，其中x，y是实数，则x+y= _14.已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OAOB=OBOC=OAOC，则O是ABC的_心.(填“重”或“垂”或“内”或“外”)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，已知在正四棱锥SABCD中，SA=5，AB=6(1)求四棱锥SABCD的表面积；(2)求四棱锥SABCD的体积16.(本小题15分)已知复数z1
5、=4+mi(mR)，且z1(12i)为纯虚数(1)求复数z1；(2)若z2=z1(1i)2，求复数z2及|z2|.17.(本小题15分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 2,c=2,cosC= 33(1)求sinB和a的值；(2)求ABC的面积18.(本小题17分)已知单位向量a满足(a+b)(ab)=ab=1(1)求|ab|的值；(2)设ab与2a+b的夹角为，求sin的值19.(本小题17分)已知函数f(x)=xx(1)证明：f(x)在(0,+)上单调递减；(2)求不等式f(m23)+f(2m)0的解集答案和解析1.【答案】B【解析】解：若化简ABADDC，根据向量
6、减法的三角形法则可知，ABADDC=DBDC=CB故选：B由已知结合向量减法运算法则即可求解本题主要考查了向量的减法运算，属于基础题2.【答案】D【解析】解：由题意，z=873i=8(7+3i)(73i)(7+3i)= 72+32i.故选：D根据复数的除法运算求解本题考查复数的运算，属于基础题3.【答案】C【解析】解：因为A=60，C=75，AC= 3，所以B=45，由正弦定理得ACsinB=BCsinA，即 3sin45=BCsin60，即BC= 3sin60sin45=3 22故选：C由题意可得角B的大小，再由正弦定理可得BC的值本题考查正弦定理的应用，属于基础题4.【答案】C【解析】解：
7、i2023i2024=i2022ii2024=(i2)1011i(i2)1012=(1)1011i(1)1012=i1故选：C利用i2=1和幂的运算性质计算可得结果本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题5.【答案】D【解析】解：a=(1,1),b=(2,3)，则ab=2+3=1，|a|= 1+1=2，所以b在a上的投影向量的坐标为ab|a|a|a|=12(1,1)=(12,12)故选：D根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解本题主要考查投影向量的公式，属于基础题6.【答案】B【解析】解：因为bsinB=csin(A+B)asinA，又sin(A+B)=sin(C)=sinC，即bsinB
8、=csinCasinA，由正弦定理可得b2=c2a2，即a2+b2=c2，所以ABC为直角三角形且C为直角故选：B利用诱导公式及正弦定理将角化边即可判断本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题7.【答案】A【解析】解：设向量c与b的夹角为，0,，向量a，b的夹角是3，a是单位向量，|b|=2，则ab=12cos3=1，c=2a+b，则c2=4a2+b2+4ab=4+4+4=12，解得|c|=2 3，cb=(2a+b)b=2ab+b2=6，故cos=cb|c|b|=62 32= 32，解得=6故选：A根据已知条件，结合平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，即可求解本题主要考查平面向量的
9、数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，属于基础题8.【答案】C【解析】解：由题意如图所示：设E为BD的中点，连接AE，CE，设P，G分别为ABD，BCD的外接圆的圆心，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，则可得O为该三棱锥的外接球的球心，连接OC，OE，则OC为外接球的半径，由ABD与BCD均为边长为2的等边三角形，则AE=CE= 322= 3又AC=3，则由余弦定理可得cosAEC=AE2+CE2AC22AECE=3+392 3 3=12，所以AEC=120，因为P，G分别为ABD，BCD的外接圆的圆心，所以CG=23CE=2 33，EG=13CE= 33，可得OPEOGE，可得OEC
10、=60，而OGE=90，所以OG= 3EG=1，在OGC中：R2=OC2=OG2+CG2=12+(2 33)2=73，所以外接球的表面积S=4R2=283故选：C取BD的中点E，设ABD和BCD的外接圆的圆心P，G分别在AE，CE上，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，可得O为三棱锥的外接球的球心，且可得OEC=60，由等边三角形的边长为2，可得EG，G及OG的值，进而求出外接球的半径OC的值，再求出外接球的表面积本题考查三棱锥的外接球问题，属于中档题9.【答案】AB【解析】解：对于A，若z为纯虚数，则m21=0m+10，解得m=1，故A正确；对于B，若z为实数，则m+1=0，m=1，此时
11、z=0，故B正确；对于C，z在复平面内对应的点为(m21,m+1)，由题意可得m+1=2(m21)，即2m2m3=0，解得m=1或m=32，故C错误；对于D，若z在复平面内对应的点在第三象限，则m210m+10，此不等式组无解，z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D错误故选：AB由复数的基本概念及复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题10.【答案】CD【解析】解：对于A，由向量的运算法则知正确，故A正确；对于B，向量数量积满足分配律，故B正确；对于C，向量数量积不满足消去律，故C错误；对于D，(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是
12、与a共线的向量，故D错误故选：CD由向量数量积的定义和运算律，对选项中的说法进行判断本题考查平面向量数量积的运算律，属于基础题11.【答案】AD【解析】解：正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，对于A选项：连接AF，AOB=45，OAB=180452=67.5，AOF=345=135，OAF=1801352=22.5，BAF=67.5+22.5=90，以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建系如图，则A(0,0),B(1,0),H( 22, 22),F(0, 2+1),C(1+ 22, 22)，AH=( 22, 22),CF=(1 22, 22+1)， 22
13、( 22+1) 22(1 22)=12 22+ 22+12=0，AH/CF，AH与CF不能构成一组基不能构成一组基底，故A选项正确；对于B选项：O(12, 2+12)，A(0,0),B(1,0),C(1+ 22, 22)，OA=(12, 2+12)，OC=(1+ 22, 22)(12, 2+12)=( 2+12,12)，OB=(1,0)(12, 2+12)=(12, 2+12)，OA+OC=( 22, 2+22)= 2OB，故B选项错误；对于C选项：G( 22, 22+1)，A(0,0)，B(1,0)，AG=( 22, 22+1)，AB=(1,0)，AGAB= 221+0( 22+1)= 22
14、，|AB|=1，AG在AB向量上的投影向量的模长为|AGAB|AB|= 22，故C选项错误；对于D选项：取AB的中点M，则PA+PB=2PM，PAPB=BA=2MA，(PA+PB)2=4PM2，(PAPB)2=4MA2，两式相减得：PAPB=PM2MA2=PM214，当点P与点E或F重合时，PM2最大，最大值为AM2+AF2=14+( 2+1)2=134+2 2，PAPB的最大值为134+2 214=3+2 2，当点P与点M重合时，PM2最小为0，PAPB的最小值为14，故D选项正确故选：AD连接AF，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到AH与CF平行，即可判断A；根据平面向量加法法则计算判断B；利用投影向量公式进行计算判断C；利用向量线性运算及
