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1、2022学年高考数学模拟测试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则( )ABCD2一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是( )A16B12C8D63函数满足对任意都有成立,且函数的图象关于点对称,则的值为( )A0B2C4D14设,是双曲线的左,
2、右焦点,是坐标原点,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为若,则的离心率为( )ABCD5在展开式中的常数项为A1B2C3D76已知定义在上的函数,则,的大小关系为( )ABCD7设复数,则=( )A1BCD8已知正四面体的棱长为,是该正四面体外接球球心,且,则( )ABCD9“是函数在区间内单调递增”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10已知函数,当时,恒成立,则的取值范围为( )ABCD11设是等差数列的前n项和,且,则( )ABC1D212在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,那么( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5
3、分,共20分。13在中,角的对边分别为,且若为钝角,则的面积为_14已知a,b均为正数,且,的最小值为_.15已知,若,则a的取值范围是_16在平面直角坐标系中,双曲线的焦距为,若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为,则双曲线的离心率为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)(江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题)在平面直角坐标系中,已知平行于轴的动直线交抛物线: 于点,点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线, , 轴都相切,设的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若直线与曲线相切于点,过且垂直于的直线为,直线, 分别与轴相交于点, .
4、当线段的长度最小时,求的值.18(12分)已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.(1)求椭圆的方程;(2)若圆上存在两点,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.19(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,且,当,时,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.20(12分)已知函数,(1)当时,讨论函数的单调性;(2)若,当时,函数,求函数的最小值21(12分)某商场以分期付款方式销售某种商品,根据以往资料统计,顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为:2340.4其中,()求购买该商品的3
5、位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率;()商场销售一件该商品,若顾客选择分2期付款,则商场获得利润l00元,若顾客选择分3期付款,则商场获得利润150元,若顾客选择分4期付款,则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为(单位:元)()求的分布列;()若,求的数学期望的最大值.22(10分)的内角,的对边分别为,,已知,.(1)求;(2)若的面积,求.2022学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】,故选B点睛:本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭
6、圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系. 2、B【答案解析】根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【题目详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B【答案点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.3、C【答案解析】根
7、据函数的图象关于点对称可得为奇函数,结合可得是周期为4的周期函数,利用及可得所求的值.【题目详解】因为函数的图象关于点对称,所以的图象关于原点对称,所以为上的奇函数.由可得,故,故是周期为4的周期函数.因为,所以.因为,故,所以.故选:C.【答案点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函数满足,那么是周期为的周期函数,本题属于中档题.4、B【答案解析】设过点作的垂线,其方程为,联立方程,求得,即,由,列出相应方程,求出离心率.【题目详解】解:不妨设过点作的垂线,其方程为,由解得,即,由,所以有,化简得,所以离心率故选:B.【答案点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等
8、基础知识,考查运算求解、推理论证能力,属于中档题5、D【答案解析】求出展开项中的常数项及含的项,问题得解。【题目详解】展开项中的常数项及含的项分别为:,,所以展开式中的常数项为:.故选:D【答案点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想,考查计算能力,属于基础题。6、D【答案解析】先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.【题目详解】当时,函数在时,是增函数.因为,所以函数是奇函数,所以有,因为,函数在时,是增函数,所以,故本题选D.【答案点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大
9、小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.7、A【答案解析】根据复数的除法运算,代入化简即可求解.【题目详解】复数,则故选:A.【答案点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值,属于基础题.8、A【答案解析】如图设平面,球心在上,根据正四面体的性质可得,根据平面向量的加法的几何意义,重心的性质,结合已知求出的值.【题目详解】如图设平面,球心在上,由正四面体的性质可得:三角形是正三角形,在直角三角形中,因为为重心,因此,则,因此,因此,则,故选A.【答案点睛】本题考查了正四面体的性质,考查了平面向量加法的几何意义,考查了重心的性质,属于中档题.9、C【答案解析】,令解得当,的图像如下图当,的
10、图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.10、A【答案解析】分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.【题目详解】由题意,若,显然不是恒大于零,故.,则在上恒成立;当时,等价于,因为,所以.设,由,显然在上单调递增,因为,所以等价于,即,则.设,则.令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,从而,故.故选:A.【答案点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.11、C【答案解析】利用等差数列的性质化简已知条件,求
11、得的值.【题目详解】由于等差数列满足,所以,.故选:C【答案点睛】本小题主要考查等差数列的性质,属于基础题.12、D【答案解析】由得,分别算出和的值,从而得到的值.【题目详解】,当时,当时,故选:D.【答案点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】转化为,利用二倍角公式可求解得,结合余弦定理可得b,再利用面积公式可得解.【题目详解】因为,所以又因为,且为锐角,所以由余弦定理得,即,解得,所以故答案为:【答案点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.14、【答案解析】本
12、题首先可以根据将化简为,然后根据基本不等式即可求出最小值.【题目详解】因为,所以,当且仅当,即、时取等号,故答案为:.【答案点睛】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为,在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况,考查化归与转化思想,是中档题.15、【答案解析】函数等价为,由二次函数的单调性可得在R上递增,即为,可得a的不等式,解不等式即可得到所求范围【题目详解】,等价为,且时,递增,时,递增,且,在处函数连续,可得在R上递增,即为,可得,解得,即a的取值范围是故答案为:【答案点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于中档题16、【答案解析】利用
13、即可建立关于的方程.【题目详解】设双曲线右焦点为,过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点,则,由已知,即,所以,离心率.故答案为:【答案点睛】本题考查求双曲线的离心率,做此类题的关键是建立的方程或不等式,是一道容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) (2)见解析.【答案解析】试题分析:(1)设根据题意得到,化简得到轨迹方程;(2)设, ,构造函数研究函数的单调性,得到函数的最值.解析:(1)因为抛物线的方程为,所以的坐标为,设,因为圆与轴、直线都相切,平行于轴,所以圆的半径为,点 ,则直线的方程为,即, 所以,又,所以,即,所以的方程为
14、(2)设, ,由(1)知,点处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,由,所以,所以, 所以 令,则,由得,由得,所以在区间单调递减,在单调递增,所以当时,取得极小值也是最小值,即取得最小值, 此时 点睛:求轨迹方程,一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可,而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式,例如,可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解,然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.18、(1);(2)【答案解析】(1)又题意知,及即可求得,从而得椭圆方程.(2)分三种情况:直线斜率不存在时,的斜率为0时,的斜率存在且不为0时,设出直线方程,联立方程组,用韦达定理和弦长公式以