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1、2020年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题表的相应位置）1若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形2设，则=（ ）A B C D3如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积为（ ） 正视图左视图俯视图A B C D14 若、两点分别在圆上运动，则的最大值为（ ）A13 B19 C32 D385设是函数定义域内的两个变量，且，若，那么，下列不等式恒成立的是（ ）A
2、BCD 6已知函数，则（ ）A1 B0 C -1 D4二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分请把答案填在答题卡相应题的横线上）否结束（第7题图）输出是输入7右图的发生器对于任意函数，可制造出一系列的数据，其工作原理如下：若输入数据，则发生器结束工作；若输入数据时，则发生器输出，其中，并将反馈回输入端.现定义,.若输入,那么,当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 8若点（1,1）到直线的距离为，则的最大值是 9. 从0，1之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是_10函数（，其中为正整数）的值域中共有2020个整数，则正整数 . 11. 把1，2，3，100这100个自然
3、数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和记为.若的最大值为，最小值为，则 . 12设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则 . 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13（本小题满分12分） 已知向量，（1）求证：为直角； （2）若，求的边的长度的取值范围14（本小题满分12分）已知函数.若为整数，且函数在内恰有一个零点，求的值. 15（本小题满分12分）设、是函数图象上两点, 其横坐标分别为和, 直线与函数的图象交于点, 与直线交于点.(1)求点的坐标； (2)当的面积大于1时, 求实数的取值范围.ABCDA1B1C
4、1D1EF16（本小题满分14分）如图，在正方体中，、分别为棱、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）如果，一个动点从点出发在正方体的表面上依次经过棱、上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由.17（本小题满分14分）已知以点为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于、两点，其中为坐标原点.（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程.18（本小题满分14分）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围； （3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定
5、点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.2020年东莞市高中数学竞赛决赛参 考 答 案一、选择题D B A C D C二、填空题75 8 9 101003 111505 12三、解答题13（1）证明：因为 0， 4分所以，即 5分所以是直角三角形 6分（2）解：， 因为是直角三角形，且，所以 9分又因为，所以 所以，长度的取值范围是 12分14解：（1）时，令得，所以在内没有零点；2分（2）时，由恒成立，知必有两个零点 5分若，解得；若，解得，所以 7分又因为函数在内恰有一个零点，所以即 10分解得 由 综上所述，所求整数的值为 12分15解：（1）易知D为线段AB
6、的中点, 因， 所以由中点公式得2分 （2）连接AB，AB与直线交于点D，D点的纵坐标为 4分所以 = log2 8分由SABC= log21, 得， 10分 因此, 实数a的取值范围是.12分16（1）证明:连结.在正方体中，对角线.又 E、F为棱AD、AB的中点， . . 2分又B1D1平面，平面， EF平面CB1D1. 4分（2）证明: 在正方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， AA1B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1， B1D1平面CAA1C1. 6分又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D1 8分（3）最小值为 .
7、 10分如图，将正方体六个面展开成平面图形， 12分从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为 . 14分17解：（1）， 设圆的方程是 令，得；令，得. 2分，即：的面积为定值. 4分 （2）垂直平分线段. ，直线的方程是.6分 ，解得：. 8分 当时，圆心的坐标为， 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点 10分当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去 13分圆的方程为. 14分18解：（1）若，则显然成立；若，设，则，故. 4分（2）有实根，.又，所以，即的左边有因式，从而有. 6分，要么没有实根，要么实根是方程的根.若没有实根，则；若有实根且实根是方程的根，则由方程，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范围是. 10分（3）由题意：是函数的稳定点则，设，是上的单调增函数，则，所以，矛盾.若，是上的单调增函数，则，所以，矛盾，故，所以是函数的不动点. 14分
