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1、线性代数超强总结 关于：称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；线性无关；任意一个维向量都可以用线性表示. 行列式的计算： 若都是方阵（不必同阶）,则 上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. 关于副对角线： 逆矩阵的求法: 方阵的幂的性质： 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式. 设的列向量为,的列向量为，的列向量为, 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即： 矩阵方程的解法：设法化成 当时, 和同解（列向量个
2、数相同）,则： 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 判断是的基础解系的条件： 线性无关； 是的解； . 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组中任一向量都是此向量组的线性组合. 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线
3、性表示. 维列向量组线性相关； 维列向量组线性无关. . 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一. 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作： 矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价矩阵与等价. 向量组可由向量组线性表示. 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表示,则. 向量组可
4、由向量组线性表示,且,则两向量组等价； 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若是矩阵,则,若，的行向量线性无关； 若，的列向量线性无关,即：线性无关.线性方程组的矩阵式 向量式 6矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：线性方程组解的性质： 设为矩阵,若,则,从而一定有解. 当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关. 是的上限. 矩阵的秩的性质： 且在矩阵乘法中有左消去律: 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. .是单位向量 . 内积的性质：
5、正定性： 对称性： 双线性： 施密特 线性无关, 单位化： 正交矩阵 . 是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基. 正交矩阵的性质： ； ； 是正交阵,则（或）也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； 正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵 .的特征多项式 .的特征方程 . 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素. 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量. 若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：, . 若的全部特征值，是多项式,则: 的全部特征值为； 当可逆时,的全部特征值为, 的全部特征值为. 与相似 （为可逆阵） 记为： 相似于对
6、角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值. 可对角化的充要条件： 为的重数. 若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.与正交相似 （为正交矩阵） 相似矩阵的性质： 若均可逆 （为整数） ,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量. 从而同时可逆或不可逆 数量矩阵只与自己相似. 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 与对角矩阵合同； 不同特征值的特征向量必定正交； 重特征值必定有个线性无关的特征向量； 必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征
7、值,重数=）.可以相似对角化 与对角阵相似. 记为： （称是的相似标准型） 若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）. 设为对应于的线性无关的特征向量,则有：. 若, ,则：. 若,则,.二次型 为对称矩阵 与合同 . 记作： （） 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是： 两个矩阵合同的必要条件是： 经过化为标准型. 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由 惟一确定的. 当标准型中的系数为1，-1或0时,则为规范形 . 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. 任一实对称矩阵与惟一对角阵合同. 用正交变换法化二次型为标准形: 求出的特征值、特征向量； 对个特征向量单位化、正交化； 构造（正交矩阵）,； 作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.正定二次型 不全为零，.正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. 合同变换不改变二次型的正定性. 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）： 正惯性指数为； 的特征值全大于； 的所有顺序主子式全大于； 合同于，即存在可逆矩阵使； 存在可逆矩阵，使 （从而）； 存在正交矩阵，使 （大于）. 成为正定矩阵的必要条件： ； .
