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1、习 题1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = R(costi + sin tj)其中 w 为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：1）由 r = R(costi + sin tj) 知x = R cos ty = R sin t消去 t 可得轨道方程x 2 + y2 = R 22）v = dr = -R sin ti + Rcostjdtv = (-R sin t) 2+ (R cos t) 21 2 = R1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = 4t 2 i + (3 + 2t) j ，式中 r 的单位为 m ，t 的单位为 s .求：（1）质点的轨道；（
2、2）从 t = 0 到 t = 1秒的位移；（3）t = 0 和 t = 1秒两时刻的速度。 解：1）由 r = 4t 2 i + (3 + 2t) j 可知x = 4t 2y = 3 + 2t消去 t 得轨道方程为： x = (y - 3)22） v = dr = 8ti + 2 jdt1r = 1vdt = (8ti + 2 j)dt = 4i + 2 j003） v(0) = 2 jv(1) = 8i + 2 j1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = t 2 i + 2tj ，式中 r 的单位为m ， t 的单位为 s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切
3、向加速 度和法向加速度。解：1） v = dr = 2ti + 2 jdta = dv = 2i dt2112） v = (2t)2 + 4 2 = 2(t + 1) 2a = dv =2t tdtt 2 + 1a2 - a2t2t2 +1an =1-4. 一升降机以加速度 a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升 降机的天花板与底板相距为 d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为y1 = v0t +1 at 22（1）图1-4y = h + v t - 1 gt 2（2）202y1 = y2（3） 2d g + a解之t =
4、1-5. 一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v0 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；drdvdv（3）落地前瞬时小球的，.dtdtdt解：（1）x = v0 ty = h - 1 gt 22式（1）式（2）r(t) = v0t i + (h - 1 gt 2 ) j2gx 2（2）联立式（1）、式（2）得y = h -02v2dr（3）= v0dti - gt j而 落地所用时间t =2hg所以dr = v i - dt0v 2xy+ v 2v 2 + (-gt)20v =jdv = -g j2ghdtdv =g 2t = g 2 gh 1v2 +
5、(gt)2 200dt(v2 + 2gh) 121-6. 路灯距地面的高度为 h1 ，一身高为 h2 的人在路灯下以匀速 v1 沿直线行 走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度 v2 .证明：设人从 O 点开始行走，t 时刻人影中足的坐标为 x1，人影中头的坐标为 x2 ，由几何关系可得图 1-6x2x2 - x1= h1 h2而x1= v0t所以，人影中头的运动方程为x2 =hh1 x1- h=h1tvh - h01212人影中头的速度v2 =dx2 dt= h1v h1 - h201-7.一质点沿直线运动，其运动方程为 x = 2 + 4t - 2t 2(m)，在 t 从 0 秒到3
6、秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解： v = dx = 4 - 4t dt若 v = 0解的 t = 1sx1 = x1 - x0 = (2 + 4 - 2) - 2 = 2mx3= x3- x1= (2 + 4 3 - 2 32 ) - (2 + 4 - 2) = -8mx = x1+ x2= 10m1-8.一弹性球直落在一斜面上，下落高度h = 20cm ，斜面对水平的倾角q = 30o ，问它 第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。图1-82gh解：小球落地时速度为 v0 =0第一次落地点为坐标原点如图一 建立直角坐标系
7、，以小球0vx0 = v0 cos 60x = v0 cos 60t + 1 g cos 600 t 202（1）0vy 0 = v0 sin 60y = v0 sin 60 t -1 g sin 600 t 22（2）第二次落地时y = 0t = 2v0g所以x = vcos 600 t + 1 g cos 600 t 2 = 2v0= 0.8m202g1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球 上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 3.4cm / s2 ，设赤道上重力加速度为 9.80m/s2 .解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足g = R
8、w 23.4 10-2R现在赤道上物体 w = 9.8 3.4 10-2w = 17w1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 v0 ，并且 v0 与水平面的夹角为q .试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：在顶点处子弹的速度 v = v0 cosq ，顶点处切向加速度为 0。v 2(vcosq )2v 2 cos2 q因此有： g =r= 0 rr = 0 g在落地点速度为 v0g cosq =2v 0 rv2r =0 g cosq1-11.飞机以 v0 = 100m / s 的速度沿水平直线飞行，在离地面高 h = 98m 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时
9、，驾驶员看目标的视 线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为 x 有： x = v0th = 1 gt 22联立方程解得： x 447mq = arctan x 77.50h1-12. 设将两物体 A 和 B 分别以初速 v A 和 vB 抛掷出去v A 与水平面的夹角为a ； vB 与水平面的夹角为 b ，试证明在任何时刻物体 B 相对物体 A 的速度是 常矢量。解：两个物体在任意时刻的速度为v A = v0 cosa i + (v0 sina - gt) jvB = v0 cos b i + (v0 sinb - gt) jvBA = vB - v
10、 A = (v0 cos b - v0 cosa )i + (v0 sin b - v0 sina ) j与时间无关，故 B 相对物体 A 的速度是常矢量。1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0 = 49.0m / s ，而气球以速度 v = 19.6m / s 匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？物体在任意时刻的速度表达式为vy = v0 - gt故气球中的观察者测得物体的速度 v = vy - v代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度 v = 9.8 m s第三秒末物体速度 第四秒末物体速度v = 0v = -9.8 m
11、 s1-14. 质点沿 x 在轴向运动，加速度 a = -kv ，k 为常数设从原点出发时速 度为 v0 ，求运动方程 x = x(t) .解： dv = -kv dt0dx = v e-ktv 1t0 vvdv = 0 - kdtxt dx = v e-kt dtv = v e-ktdt000 0x = v0 (1 - e-kt )k1-15. 跳水运动员自10m 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加 速度 a = -kv2 ， k = 0.4m-1 .求运动员速度减为入水速度的 10%时的入水深度。2gh解：取水面为坐标原点，竖直向下为 x 轴跳水运动员入水速度v0 = 14 m
12、s2dvdv v0 1 x- kv= vdtdx10dv =- kdxv v00x = 1 ln10 = 5.76m k1-16. 一飞行火箭的运动学方程为： x = ut + u(1 - t) ln(1 - bt) ，其中 b 是b与燃料燃烧速率有关的量， u 为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速 度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：（1） v = dx = -u ln(1 - bt) dt（2） a = dvdt=ub1 - bt1-17. 质点的运动方程为： x = R coswt,y = R sin wt,z = h wt, 式2p中 R、h、w 为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为x2 + y 2 = R2z = h wt2p这是一条空间螺旋线。在 O xy 平面上的投影为圆心在原点，半径为 R 的圆，螺距为 h（2） vx= dx = -Rw sin wt dtv
