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1、1如图，在矩形ABCD中，已知BC8cm，点G为BC边上一点，满足BGAB6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EFAE，交线段CD于点F设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图所示（1）图中，CG2cm，图中，m2；（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分AEF的面积，求此时t的值解：（1）BC8cm，BGAB6cm，CG2cm，EFAE，AEB+FEC90，且AEB+BAE90，BAEFEC，且BC90，ABEECF，t6，B
2、E6cm，CE2cm，CF2cm，m2，故答案为：2，2；（2）若点F是CD中点，CFDF3cm，ABEECF，EC28EC+180647280，点F不可能是CD中点；（3）如图，过点H作HMBC于点M，C90，HMBC，HMCD，EHMEFC，AG平分AEF的面积，EHFH，EMMC，BEt，EC8t，EMCM4t，MGCMCG2，CFEMMC，EHFH，MHCFABBG6，AGB45，且HMBC，HGMGHM45，HMGM，2，t2或t12，且t6，t22问题提出：（1）如图1，ABC的边BC在直线n上，过顶点A作直线mn，在直线m上任取一点D，连接BD、CD，则ABC的面积DBC的面积问
3、题探究：（2）如图2，在菱形ABCD和菱形BGFE中，BG6，A60，求DGE的面积；问题解决：（3）如图3，在矩形ABCD中，AB12，BC10，在矩形ABCD内（也可以在边上）存在一点P，使得ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，求ABP周长的最小值解：问题提出：（1）两条平行线间的距离一定，ABC与DBC同底等高，即ABC的面积DBC的面积，故答案为：；问题探究：（2）如图2，连接BD，四边形ABCD，四边形BGFE是菱形，ADBC，BCEF，ADAB，BGBE，ACBE60，ADB是等边三角形，BGE是等边三角形，ABDGBE60，BDGE，SDGESBGEBG29；（3）如图3，过点
4、P作PEAB，交AD于点E，ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，12AE1210AE8，作点A关于PE的对称点A，连接AB交PE于点P，此时ABP周长最小，AEAE8，AA16，AB20，ABP周长的最小值AP+AB+PBAP+PB+AB20+12323（1）方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足EAF45，连接EF将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，易证GAFEAF，从而得到结论：DE+BFEF根据这个结论，若CD6，DE2，求EF的长（2）方法迁移：如图，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是BC、CD上的点，且EAFBAD，
5、试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAFBAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）解：（1）方法感悟：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，GBDE2，GAFEAFGFEF，CD6，DE2CE4，EF2CF2+CE2，EF2（8EF）2+16，EF5；（2）方法迁移：DE+BFEF，理由如下：如图，将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABH，由旋转可得，AHAE，BHDE，12，DABH，EAFDAB，HAF1+32+3BAD，
6、HAFEAF，ABH+ABFD+ABF180，点H、B、F三点共线，在AEF和AHF中，AEFAHF（SAS），EFHF，HFBH+BF，EFDE+BF（3）问题拓展：EFBFFD，理由如下：在BC上截取BHDF，B+ADC180，ADC+ADF180，BADF，且ABAD，BHDF，ABHADF（SAS）BAHDAF，AHAD，EAFBAD，DAE+BAHBAD，HAEBADEAF，且AEAE，AHAD，HAEFAE（SAS）HEEF，EFHEBEBHBEDF4如图1，在ABCD中，AB3cm，BC5cm，ACAB，ACD沿AC的方向匀速平移得到PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发
7、，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（04），连结PQ，MQ，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQMN？（2）当t为何值时，CPQ45？（3）当t为何值时，PQMQ？解：（1）AB3cm，BC5cm，ACAB，AC4cm，MNAB，PQMN，PQAB，ts（2）如图2，过点Q作QEAC，则QEAB，CE，QEt，CPQ45，PEQEt，t+t+t4，ts（3）如图2，过点P作PFBC于F点，过点M作MHBC，交BC延长线于点H，四边形PMHF是矩形，PMFH5，APFC90，ACBPCF，ABCFPC，PF，CF，QH5FQ
8、5（CFCQ），PQMQ，PQF+MQH90，且PQF+FPQ90，FPQMQH，且PFQH90，PFQQHM，ts5问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得四边形EFGH是正方形类比探究：如图2，在正ABC的内部，作123，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）（1）ABD，BCE，CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；（2）DEF是否为正三角形？请说明理由；（3）如图3，进一步探究发现，ABD的三边存在一定的等量关系，设BDa，ADb，ABc，请探索a，b，c满足的等
9、量关系（1）ABDBCECAF；理由如下：ABC是正三角形，CABABCBCA60，ABBCAC，又123，ABDBCECAF，在ABD、BCE和CAF中，ABDBCECAF（ASA）；（2）DEF是正三角形；理由如下：ABDBCECAF，ADBBECCFA，FDEDEFEFD，DEF是正三角形； （3）c2a2+ab+b2作AGBD于G，如图所示：DEF是正三角形，ADG60，在RtADG中，DGb，AGb，在RtABG中，c2（a+b）2+（b）2，c2a2+ab+b26如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，ABCCDA90，BCCD，延长BC交AD的延长线于点E（1）求证：ABAD；（
10、2）若AEBE+DE，求BAC的值；（3）过点E作MEAB，交AC的延长线于点M，过点M作MPDC，交DC的延长线于点P，连接PB设PBa，点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，点O与点E是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时MO+PO的值（用含a的式子表示）；若不可能，请说明理由（1）证明：ABCCDA90，BCCD，ACAC，RtABCRtADC（HL）ABAD （2）解：AEBE+DE， 又AEAD+DE，ADBEABAD，ABBEBADBEAABC90，BAD45由（1）得ABCADC，BACDACBAC22.5 （3）解：当MO+PO的值最小时，点O与点E可以重合，理由如
11、下：MEAB，ABCMEC90，MABEMAMPDC，MPC90MPCADC90PMADEAMPMA 由（1）得，RtABCRtADC，EACMAB，EMAAMP即MC平分PME 又MPCP，MECE，PCEC 如图，连接PB，连接PE，延长ME交PD的延长线于点Q 设EAM，则MAP 在RtABE中，BEA902 在RtCDE中，ECD90BEA2PCEC，PEBEPCECDPEDBEA+PEB90MEAB，QEDBAD2 当PEDQED时，PDEQDE，DEDE，PDEQDE（ASA）PDDQ 即点P与点Q关于直线AE成轴对称，也即点M、点E、点P关于直线AE的对称点Q，这三点共线，也即MO+PO的值最小时，点O与点E重合 因为当PEDQED时，902，也即30 所以，当ABD60时，MO+PO取最小值时的点O与点E重合 此时MO+PO的最小值即为ME+PEPCEC，PCBECD，CBCD，PCBECD（SAS）CBPCDE90CBP+ABC180A，B，P三点共线 当ABD60时，在PEA中，PAEPEA60EPA60PEA为等边三角形EBAP，AP2AB2aEPAE2aEMAEAM30，EMAE2aMO+P
