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1、小学六年级奥数第四讲 平面几何部分教学目标：1 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角
2、形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中，分别是上的点如图 (或在的延长线上，在上)，则 图 图三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：；的对应份数为四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形
3、的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、燕尾定理在三角形中，相交于同一点，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互
4、相联系的途径.典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2长方形EFGH的面积为 _H_G_F_E_D_C_B_A _A_B_C_D_E_F_G_H【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，,所以长方形EFGH面积为33【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？_A_B_G_C_E_F_D _A_B_G_C_E_F_D【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行
5、四边形面积的一半证明：连接(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形中，边上的高，(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，正方形与长方形面积相等 长方形的宽(厘米)【例 2】 长方形的面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、，而 即； 而， 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有： 【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求
6、阴影部分面积 【解析】 （法1）特殊点法由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米（法2）连接、由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米【例 3】 如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，四边形的面积为 【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积由于长方形的面积为，所以
7、三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，则阴影部分的面积为 【解析】 如图，连接根据蝴蝶定理，所以；，所以又，所以阴影部分面积为：【例 4】 已知为等边三角形，面积为400，、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积(丙是三角形)【解析】 因为、分别为三边的中点，所以、是三角形的中位线
8、，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200根据图形的容斥关系，有，即，所以又，所以【例 5】 如图，已知，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是 【解析】 连接，根据题意可知，；所以，于是：；可得故三角形的面积是40【例 6】 如图在中，分别是上的点，且，平方厘米，求的面积 【解析】 连接，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的
9、3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？ 【解析】 连接 又，【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 【解析】 连接，又，【例 7】 如图在中，在的延长线上，在上，且，平方厘米，求的面积 【解析】 连接， ，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比 【解析】 连接、根据共角定理 在和中，与互补，又，所以同理可得，所
10、以所以【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，中，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积 【解析】 如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置由于，所以而，所以，那么、三点在一条直线上由于，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为根据面积
11、比例模型，的面积为【例 11】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于已知、的长分别为、，求三角形的面积 【解析】 如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()又因为是直角三角形，根据勾股定理，所以()那么()，所以()【例 12】 如下图，六边形中，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为
12、平方厘米【例 13】 如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点则四边形的面积等于 【解析】 方法一：连接，根据燕尾定理，, 设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，所以，而所以则四边形的面积等于【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，是的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】 设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.【例 14】 四边形的对角线与交于点(如图所示)如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题解法一：，解法二：作于，于，【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形的面积；？【解析】 根据蝴蝶定理，那么；根据蝴蝶定
